AppleRapple
AppleRapple - Erectus - 62 Punti
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Salve! potreste aiutarmi a svolgere questo problema diviso in 2 domande?
a) scrivi l'equazione della circonferenza che è tangente nel punto A(0;2) alla retta 3x-4y+8=0 e ha il centro sulla retta di equazione y=-2x+3
b) tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante trova quelle che, intersecando la circonferenza, determinano una corda lunga 5/2 per radical 2 (cinque mezzi per radical due)

Grazie!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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A) L'equazione generica della circonferenza e'

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Sappiamo che il centro sta sulla retta data, dove quindi tutti i punti sono della forma generica
[math] x_0,-2x_0+3 [/math]

Quindi anche il centro della circonferenza sara' della forma dei punti generici.

Sapendo che
[math] x_C=- \frac{a}{2} [/math]
e che
[math] y_C=- \frac{b}{2} [/math]
avremo che
[math] y_C=-2x_C+3 \to -\frac{b}{2}=-2 (- \frac{a}{2}) +3 \\ \to - \frac{b}{2}=a+3 \to b=-2a-6 [/math]

Pertanto la circonferenza sara' della forma

[math] x^2+y^2+ax+(-2a-6)y+c=0 [/math]

Sappiamo inoltre che la circonferenza e' tangente alla retta nel punto A. Ma se A e' punto di tangenza, A appartiene alla circonferenza, e pertanto ne soddisfa l'equazione:

[math] 0^2+2^2+a0+(-2a-6)2+c=0 \\ \to 4-4a-12+c=0 \to c=8+4a [/math]

Quindi la circonferenza sara' del tipo

[math] x^2+y^2+ax+(-2a-6)y+8+4a=0 [/math]

Infine sappiamo che la circonferenza e' tangente alla retta.
Ora possiamo agire in due modi:
o troviamo le intersezioni generiche tra la circonferenza (il fascio) e la retta e poniamo poi la condizione che i due punti coincidano (delta =0).

Oppure poniamo che la distanza del centro dalla retta sia uguale al raggio.

Io procedo nel secondo modo.

La retta tangente e' 3x-4y+8=0.

Il centro e'
[math] - \frac{a}{2}, - \frac{-2a-6}{2} [/math]

ovvero

[math] - \frac{a}{2}, + \frac{a+3}{2} [/math]

Per cui la distanza dalla retta sara'

[math] d= \frac{|3(- \frac{a}{2})4( \frac{a+3}{2})+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}= \\ \frac{|\frac{-3a}{2}+ \frac{-4a-3}{2}+8|}{5}= \frac{|-3a-4a-3+16|}{50}= \frac{|-7a-13|}{50} [/math]

Mentre il raggio sara'

[math] r= \sqrt{(- \frac{a}{2})^2+(\frac{a+3}{2})^2-(8+4a)}= \sqrt{a^2/4+ \frac{(a+3)^2}{4}-8-4a} [/math]

Che uguagliato alla distanza ti da' il valore di a (eguagli, elevi al quadrato (per eliminare la radice)

Prova a finirlo tu, poi vediamo il secondo pezzo.
AppleRapple
AppleRapple - Erectus - 62 Punti
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nn ho capito la prima equazione x0-2x0+3 e xc e yc cosa sono...forse la c mi trae in inganno..
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del centro
AppleRapple
AppleRapple - Erectus - 62 Punti
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ahhh ok nn avevo capito subito...grazie 1000! :D
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