bellissimo34
bellissimo34 - Erectus - 50 Punti
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Considerata una semicirconferenza di diametro AB= 2r, traccia da A la retta t che forma un angolo di 45° col diametro e interseca ulteriormente la circonferenza in C. Determina su t, oltre C, un punto P in modo che il segmento PB sia esterno alla circonferenza e la'rea del triangolo mistilineo PBC sia il quadruplo di quella del segmento circolare determinato dalla corda AC.
mi aiutate..??please?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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unisci C a B.

hai un triangolo rettangolo (ABC) (dal momento che e' inscritto in una semicirconferenza e' rettangolo) di angoli 90-45-45, di Base 2r e altezza r (perche' il punto C e' perpendicolare ad O.

Quindi l'Area di questo triangolo sara'
[math] \frac12 r \cdot 2r = r^2 [/math]

Il settore circolare AC e' uguale al settore circolare CB, dal momento che il triangolo ABC e' isoscele, quindi l'area dei due settori circolari (AC e CB) sara' data dall'Area della semicirconferenza - il triangolo ABC

L'area della semicirconferenza sara'

[math] \frac12 \pi r^2 [/math]

e pertanto l'Area della somma dei settori circolari sara'

[math] \frac12 \pi r^2 - r^2 = r^2( \frac{ \pi - 2}{2}) [/math]

e quindi quello di uno dei due (AC nel nostro caso) sara'

[math] r^2( \frac{ \pi - 2}{4}) [/math]

A questo punto mi devi dire tu, che cosa state facendo di programma.
Trigonometria?

Aggiunto 12 minuti più tardi:

altrimenti senza la trigonometria, io farei cosi':

l'area del triangolo mistilineo PBC e' = all'area di ABP da cui togli l'area di ABC (non il triangolo, ma la porzione di circonferenza)

ABC e' data dalla semicirconferenza
[math] \frac12 \pi r^2 [/math]
da cui togli l'area del segmento circolare AC
Quindi
[math] \frac12 \pi r^2 - r^2 ( \frac{ \pi - 2}{4}) = r^2 ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \pi}{4} + \frac12) = r^2( \frac{ \pi}{4} - \frac12) [/math]

Detta H la proiezione di P sul prolungamento di AB, chiameremo x l'altezza PH.

L'area del triangolo ABP sara'
[math] \frac12 2rx = rx [/math]

E quindi l'Area di PCB sara'
[math] rx - r^2 ( \frac{ \pi}{4} - \frac12) [/math]

Che dovra' essere uguale a 4 volte l'area di AC

quindi

[math] rx - r^2 ( \frac{ \pi}{4} - \frac12)= r^2 ( \pi - 2) [/math]

da cui, raccogliendo r e semplificando

[math] x= r (\frac{5 \pi}{4}- \frac52) [/math]

Consideriamo dunque il triangoloAHP, rettangolo in H e isoscele (l'angolo in A e' 45, quindi anche l'angolo APH e' 45)

AP sara' pertanto l'ipotenusa del triangolo di cateti (uguali) pari a
[math] r (\frac{5 \pi}{4}- \frac52) [/math]

Quindi

[math] \bar{AP}= \sqrt{2r^2 (\frac{5 \pi}{4}- \frac52)^2}= r \sqrt2 \frac{5 \pi}{4}- \frac52 [/math]

Se non ho fatto errori di conto, dovrebbe essere cosi'
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