miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Una rapida domanda. La derivata di una funzione pari è una funzione dispari, ma è vero anche il contrario? cioè se ho una funzione dispari, la sua primitiva sarà sicuramente pari??'
cichinella
cichinella - Genius - 5407 Punti
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Una funzione si dice pari se: f ( -x ) = f(x)
si dice dispari se: f ( -x) = - f(x) ovvero f(x) = -f(-x)
Calcoliamo la derivata di f(-x)che è una funzione composta
D[f(-x)] = - f '(-x)
d'altra parte, essendo f(x) pari si ha:
D[f(-x)] = D [f(x)] = f '(x)
quindi la funzione f '(x) è tale che:
f '(x) = - f '(-x) cioè è dispari
Analogamente si dimostra che la derivata di una funzione dispari è pari:
D[f(-x)] = - f '(-x)
d'altra parte, essendo f(x) dispari si ha:
D[f(-x)] = D [ -f(x)] = - D [f (x)] = - f '(x)
quindi la funzione f '(x) è tale che:
- f '(x) = - f '(-x) cioè f '(x) = f '(-x) => pari
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok grazie mille!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Perdonatemi, ma state entrando in confusione. E' vero che la derivata di una funzione pari è dispari e quella di una funzione dispari è pari, ma non è vero il viceversa!

Esempio banale: sia
[math]f(x)=x^2[/math]
(funzione pari). Le sue primitive sono le funzioni
[math]F(x)=\frac{x^3}{3}+c[/math]

e si ha che

[math]F(-x)=-\frac{x^3}{3}+c\neq -F(x)[/math]

a meno che
[math]c=0[/math]
. Con le derivate non avete problemi in quanto le costanti spariscono, ma con gli integrali questo può non essere più vero.
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