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Ecce - Erectus - 98 Punti
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Ciao a tutti,

ecco un altro piccolo problemino su cui ho dei dubbi:

Determinate per quali valori di K il polinomio

[math]P(x)=(k+2)^2 x^2 -2(k+3)x +1[/math]
ha segno non negativo.
Le possibili soluzioni sono
A) k>-5/2
B) k<-5/2
C) k<-5/2; k diverso da 2
D) k>-5/2; k diverso da 2
E) Nessuna delle precedenti

Ora, il polinomio è chiaramente l'equazione di una parabola dove le parti con K sono la a e la b.
Risolvendo per >=0 otteniamo i due intervalli

[math]\frac{(2K+6 \pm\ \sqrt{8K+20}\)}{(k+2)^2}[/math]

Quello che noi vogliamo è che l'equazione abbia sempre segno positivo, quindi il delta deve essere minore di zero, rendendo non risolvibile in zero l'equazione. E quindi k<-5/2 e quindi direi che la soluzione sia B)

Io almeno lo risolverei così, però mi chiedevo:
1) Se il ragionamento in sè sia corretto, è sempre vero che questo polinomio ha segno non negativo per quei valori di K?
2) se non debba essere aggiunta anche la condizione di esistenza Kdiverso da 2 che rende sensati gli intervalli (anche se in realtà è ridondante k<-5/2 contiene la condizione di esistenza e inoltre...rende insensata l'equazione poichè non si può risolvere un radicale negativo)

Grazie per i vostri suggerimenti

Grazie Bit, quindi tu risponderesti C)?
Non sono convinto che sia la risposta giusta (la domanda posta dall'esercizio è, volutamente, ambigua). Dici che devo sempre includere k diverso da 2, ma in realtà il testo mi chiede solo "per quali valori è positivo il polinomio" e quei valori sono solo k<-5/2 (che contiene implicitamente k diverso da 2), il valore "non 2" non fa parte dell'intervallo(quindi non è interessato dalla domanda).
Inoltre, k diverso da 2 non è una condizione di esistenza in senso stretto (posso sempre svolgere i calcoli per k uguale a 2, ma quando k è uguale a 2 mi trovo con una retta anzichè una parabola) quindi non fa parte della soluzione nemmeno in questo senso.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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nell'intervallo trovato (k<-5/2) il polinomio assume una forma tale che per ogni valore di x, esso e' sempre positivo

Hai trovato infatti per quali valori di k, la parabola y=...... e' sempre sopra l'asse y.

Per k=-5/2 la parabola e' tutta sopra l'asse y ad eccezione del suo vertice (se provi a sostituire scoprirai che l'equazione =0 ha una unica soluzione per k=-5/2 ovvero delta=0)

Non sarebbe possibile risolvere l'esercizio, se la richiesta fosse stata "l'equazione abbia sempre segno negativo"

Questo e' spiegabile analiticamente sempre ricorrendo alla parabola.
Sappiamo che la parabola ha concavita' verso l'alto (ovvero e' della forma
[math] \cup [/math]
) quando il coefficiente di x^2 e' positivo, della forma
[math] \cap [/math]
quando il coefficiente di x^2 e' negativo.
Dal momento che il coefficiente di x^2 e' sempre positivo (o al piu' nullo, infatti e' un quadrato) la parabola sara' sempre con concavita' verso l'alto. Pertanto sempre negativa (ovvero sempre sotto l'asse x) non lo sara' mai.

Si tratta dunque di vedere quando la disequazione e' sempre > 0 (ovvero quando delta negativo) come hai fatto tu.

L'eccezione da te posta, e' sempre da escludere, perche' k=-2 annulla l'equazione della parabola (rendendola degenere in una retta) che , ad eccezione delle rette della forma y=costante, sono sempre sia positive che negative.

Nell'eventualita' pero' che k=-2 avesse anche annullato il coefficiente di x (esempio nel caso y=(k+2)x^2 + (k+2)x+3 ) allora il valore di k=-2 sarebbe andato comunque bene, perche' avrebbe generato y=3 quindi 3> 0 che e' anch'esso sempre verificato.

Aggiunto 24 secondi più tardi:

Spero di aver capito i tuoi dubbi e di aver centrato l'obiettivo nella risposta ;)
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