IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Limiti finito per x che tende ad un numero infinito. Scusate ragazzi io non ho capito i limiti dove la x tende ad un numero infinito.

Per esempio se ho:_

lim
[math]\frac{2x^3+x+1}{x^2+x+5}[/math]
x->oo


Questo è uguale ad infinito fratto infinito quindi è una forma indeterminata, perchèp sono validi tutti i valori no? Poi che fai? devi dividere tutti i termini per la x con grado superiore cioè
[math]x^3[/math]
per le proprietà delle frazioni?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quando hai dei limiti con il rapporto di due polinomi e la x che tende all'infinito, basta che calcoli il rapporto dei termini di grado massimo. A quel punto, se ti restano delle x al numeratore il limite è infinito, se restano al denominatore il limite è zero, mentre se resta solo il rapporto dei coefficienti quello è il limite. Nel tuo caso

[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x^3+x+1}{x^2+x+5}=
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty} 2x=\pm\infty[/math]
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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ciampax: Quando hai dei limiti con il rapporto di due polinomi e la x che tende all'infinito, basta che calcoli il rapporto dei termini di grado massimo. A quel punto, se ti restano delle x al numeratore il limite è infinito, se restano al denominatore il limite è zero, mentre se resta solo il rapporto dei coefficienti quello è il limite. Nel tuo caso

:beatin aspettate m sn persa un passaggio :cry
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quale passaggio?
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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quello che hai detto tu ora ad ipply....la questione m'interessa :beatin
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora scrivo la formula in generale: supponi di voler calcolare il limite
[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}[/math]

dove
[math]P(x), Q(x)[/math]
sono due polinomi. Allora se i termini di grado massimo sono
[math]P(x)=a x^n+\ldots,\qquad\qquad Q(x)=b x^m+\ldots[/math]

il limite è uguale a

[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{a x^n}{b x^m}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{a}{b} x^{n-m}[/math]

cioè il limite coincide con il limite del rapporto dei termini di grado maggiore nei due polinomi (è una questione di ordini di infinito, tanto per capirci). A questo punto hai tre casi:

1) se n>m allora la potenza di x è positiva e quindi il limite è uguale ad infinito;

2) se n<m allora la potenza di x è negativa e quindi il limite è uguale a zero;

3) se n=m allora la x sparisce e ti resta il rapporto a/b che è il valore del limite.
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Ah e se nell'argomento del limite ho una radice cioè il polinomio in questione è radicando?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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devi sempre ragionare in termini di potenze. il punto è: perchè nel caso sopracitato puoi considerare solo le x con esponente maggiore ed escludere le altre? hai detto giustamente che dividi per la x di grado maggiore, in modo tale da vedere quale sia effettivamente la parte più "consistente" della funzione in un determinato intorno (in qsto caso infinito). poi la radice nn è altro che un elevamento a potenza:
rad^2(x) = x^(1/2)
..quindi applichi il solito ragionamento e le solite proprietà delle potenze
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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ciampax: Allora scrivo la formula in generale: supponi di voler calcolare il limite
[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}[/math]

dove
[math]P(x), Q(x)[/math]
sono due polinomi. Allora se i termini di grado massimo sono
[math]P(x)=a x^n+\ldots,\qquad\qquad Q(x)=b x^m+\ldots[/math]

il limite è uguale a

[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{a x^n}{b x^m}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{a}{b} x^{n-m}[/math]

cioè il limite coincide con il limite del rapporto dei termini di grado maggiore nei due polinomi (è una questione di ordini di infinito, tanto per capirci). A questo punto hai tre casi:

1) se n>m allora la potenza di x è positiva e quindi il limite è uguale ad infinito;

2) se n<m allora la potenza di x è negativa e quindi il limite è uguale a zero;

3) se n=m allora la x sparisce e ti resta il rapporto a/b che è il valore del limite.
ah sìsì certo, non avevo capito il senso ma queste cose le so...:)
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