lucyrenzo
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Un manubrio costituito da due sfere di acciaio ( di densità q) di raggio r, rigidamente e coassialmente saldate alle due estremità di una sbarretta rigida, di massa e spessore trascurabli e lunghezza tale da mantenere i centri delle sfere a distanza d, può rotare sia intorno all'asse longitudinale che intorno ad un asse perpendicolare alla sbarretta e passante per il centro. Calcolare il rapporto tra i due momenti d'inerzia.

Non ho capito nulla.
L'unica cosa che so - per quanto sia insufficiente- è che il momento d'inerzia di una sfera cava = 2/5 mr^2.
scusatemi se non aggiungo un mio procedimento ma non so come svolgere questo problema.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Il momento di inerzia dipende dall'asse rispetto al quale è calcolato (fisicamente: a volte è più facile ruotare un corpo attorno ad alcuni assi che attorno ad altri).

Prova a calcolare il momento di inerzia nei due casi;
per semplicità, ti conviene prima provare a fare i conti con due "masse puntiformi di massa m" al posto delle sfere, poi una volta capito il senso del problema,
fai i conti con le sfere, applicando le proprietà dei momenti di inerzia (additività, teorema di hyugens-steiner...)
lucyrenzo
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Cherubino, devo chiederti un favore: potresti seguirmi passo passo nei miei ragionamenti? ancora non ho dimistichezza nel cavarmela con problemi di fisica.
Tuttavia ho buona volontà.
Tornando all'esercizio:posso considerare la distanza tra le due sfere ( considerandole dapprima masse puntiformi) d.
Allora, tenendo presente che la rotazione può avvenire intorno ad un asse perpendicolare alla sbarretta nel suo centro, dovrei ottenere:
I= m(d/2)^2+ m(d/2)^2 non avendo ancora calcolato m ma ricavandola successivamente dall relazione: densità= massa/volume.
Fin qui è corretto? Non ho ben capito invece come avviene la rotazione intorno all'asse longitudinale, quali considerazioni fare in proposito...
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Prima di procedere, cerca di dare un significato preciso ad ogni simbolo che usi in un'equazione:
esaminiamo l'espressione del momento di inerzia di un sistema discreto di punti *rispetto ad un asse*:

[math]I = \sum_i m_i (\vec r_i \cdot \vec r_i)[/math]
Il vettore
[math]\vec r_i[/math]
indica la distanza del punto *rispetto all'asse scelto* (è rispetto ad un asse, quindi ad una retta, non rispetto ad un punto).
La relazione che hai scritto sopra, ovvero il momento di inerzia rispetto ad un asse ortogonale all'asse di simmetria, è corretta: la distanza dall'asse ai punti materiali è d/2.

Ora cosa succede prendendo come asse, l'asse di simmetria stesso?
I punti stanno proprio sull'asse...
lucyrenzo
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Fino alla definizione del momento di inerzia ci sono. Tutto è chiaro. Anche per la relazione che ho scritto rispetto ad un asse ortogonale all'asse di simmetria. Quindi, se non sbaglio, una domanda del problema è stata risolta. Tuttavia non riesco a capire la tua domanda: cosa succede se .... stesso? Ci troviamo d'accordo che i punti si trovano sull'asse stesso. Ma ora?
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Per la seconda domanda, come asse per calcolare il momento di inerzia, scegliamo l'asse di simmetria.
I punti si trovano sull'asse stesso: qual è la distanza tra i punti e l'asse?
lucyrenzo
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se si trovano sull'asse, la distanza non dovrebbe essere nulla?
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Esatto! Quindi nel caso dell'approssimazione in cui le sfere sono puntiformi, il momento di inerzia attorno all'asse di simmetria è nullo.

Nel caso in cui le sfere non sono puntiformi, ciò non sarà più vero, ma sarà sempre vero che il momento di inerzia del manubrio attorno all'asse di simmetria sarà più piccolo del momento di inerzia ortogonale all'asse di simmetria (spero che fisicamente tu riesca a capire che un momento di inerzia attorno ad un asse indica la "difficoltà" a mettere in rotazione il corpo attorno a quell'asse).
Questo tipo di ragionamenti sono molto utili per capire se un risultato ha senso.

Ora vado a dormire, domani facciamo il caso in cui la sfera non è puntiforme.
Ripassa il teorema di Hyugens-Steiner, e le proprietà generali dei momenti di inerzia.
lucyrenzo
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Grazie Cherubino. Lo farò, anche se sarà arduo dal momento che non ho ben capito l'applicazione.:hi notte
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Beh sarebbe più semplice darti qualche motivazione sullo studio della meccanica dei punti materiali (o del corpo rigido) se sapessi che università segui.

Ti rimando alla voce di wikipedia, che è ben scritta: http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia
Studia anche il Teorema di Huygens-Steiner: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Huygens-Steiner
lucyrenzo
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Ti ringrazio cherubino. Ieri sera avevo già dato uno sguardo. Se vuoi possiamo continuare col ragionamento. Purtroppo, per quanto sia incapace, studio fisica (non che non mi piaccia, tutt'altro: il problema è la scarsa conciliazione tra teoria e pratica, tra astratto e reale)
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Allora proseguiamo:
quant'è il momento di inerzia di una sfera attorno ad un (qualsiasi) asse?
lucyrenzo
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I=2/5MR^2, trovato con calcolo integrale.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Ok (spero che tu sia in grado di eseguire i conti di quell'integrale autonomamente).

Ora supponi di avere due sfere, una sotto l'altra,
e di voler calcolare il momento di inerzia del *sistema composto dalle due sfere*.
L'asse di rotazione è quello che passa per la congiungente delle due sfere (l'asse verticale, quello che chiamavamo asse di simmetria).

Quanto vale il momento di inerzia delle *due sfere* attorno all'asse?
lucyrenzo
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2/5MR^2 è il momento di una sfera attorno ad un asse qualsiasi. Tuttavia dovrei tener in considerazione la distanza dei punti della sfera dalla retta congiungente le due sfere...pertanto la distanza non è più R ma 2R, tutto il diametro?
praticamente, se ho una sfera che ruota attorno al suo asse, posto nel suo centro di massa, trovo la formula 2/5MR^2. Tuttavia, se l'asse attorno al quale ruota passa per un suo punto collocato sul suo bordo, devo tener in considerazione il "vecchio momento d'inerzia" più la distanza tra l'asse passante per il suo centro di massa e quello parallelo. ma non so in questo caso: dal momento che sono due sfere, della stessa massa, devo moltiplicare per 2 2/5MR^2+MR^2?

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