Ciardo
Ciardo - Sapiens - 377 Punti
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Ho letto la teoria ma non mi trovo a degli esercizi.
Negli esempi che fa, il libro, es:

2x - | x^2 - 4 | = 1

SS x^2 - 4 > o x < - 2 V x > 2.

Quindi per x < - 2 V x > 2 troviamo x = -1 e x = 3, 3 sta tra - 2 e 2 e quindi é l'unica soluzione valida.

Per -2 < x < 2 si cambia segno dell'argomento ed esce x = - 1 - radice^6 V x = - 1 + radice^6. Stessa cosa per - 1 + radice^6. E fin qui, ci siamo. Poi però con gli esercizi, tra l'altro uno "guidato" dice:

| 2 x + 1 | > 6

Risultato (non vi sto a dire tutti i punti) x < - 7/2 V x > 5/2.

Ma scusate, i valori non devono essere uguali a qualcosa? Anche io mi trovo, andando a calcolare, gli stessi risultati ma siccome allo studio del segno di 2 x + 1 mi esce x > - 1/2, non devo andar a cercare i valori "definiti", cioé uguali, e non maggiore o minore? In questo caso dovrei trovarmi ad esempio come valori possibili sempre se ho capito bene x = - 7/2 e x = 5/2. Ma non valori esterni. Che significa?

E poi:

| x^2 - 3x + 3 | > 0

Il delta nel SS dell'argomento é negativo. Come procedo??

Aiuto!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dunque: per prima cosa il primo esercizio che hai postato e' un'equazione (e pertanto ha un numero FINITO di soluzioni) mentre le altre due sono disequazioni (e pertanto hanno come soluzione un insieme)

Infatti se scrivo, ad esempio, x-2=0 ==> x=2 (1 soluzione)
se scrivo x-2>0 ==> x>2 ovvero un insieme di soluzioni che soddisfano la disuguaglianza)

Detto questo:

Quando hai una disequazione con il modulo, considera per prima cosa il testo.

Partiamo dalla seconda disequazione (il terzo esercizio): chiede di trovare per quali valori di x il modulo e' maggiore di zero.

Sappiamo che il modulo (o valore assoluto) rende positivo l'argomento SEMPRE tranne quando e' nullo (che rimane zero)

Quindi dovremo escludere tutti i valori che annullano l'argomento, e che pertanto rendono falsa la disequazione (infatti 0 non e' > 0 )

Dal momento che il delta e' minore di zero, significa che l'equazione di secondo grado nel modulo non e' mai verificata, quindi vuol dire che l'argomento del valore assoluto non e' mai = 0 . Gli altri valori che puo' assumere l'argomento del modulo non interessano, perche' tanto, grazie all'operatore, saranno SEMPRE positivi e quindi sempre >0.

La seconda.

Per risolvere delle disequazioni del tipo

[math] |p(x)|>n [/math]
dove n e' un numero positivo qualunque, devi considerare questo:
se il polinomio ha un valore >n, il modulo e' inutile e quindi la disequazione e' verificata; se il polinomio ha un valore <-n, il modulo ne cambia il segno (lo rende positivo) e quindi lo "trasforma" in un numero >n, e quindi va bene anche.

Pertanto per studiare la soluzione della disequazione, dovrai risolvere:

[math] p(x)>n \ U \ p(x)<-n [/math]

E quindi nel tuo secondo esercizio:

[math] 2x+1>6 \ U \ 2x+1<-6 \to x>5/2 \ U x<-7/2 [/math]

Se consideri bene, in fondo, anche la terza disequazione e' dello stesso tipo
(le soluzioni saranno:

[math] x^2-3x+3>0 \ U \ x^2-3x+3<-0 [/math]
che si traduce in
[math] x^2-3x+3 \ne 0 [/math]
perche' se vanno bene tutti i valori che rendono il polinomio positivo o negativo significa che non vanno bene quelli che l'annullano)
Altri casi sono:

[math] |p(x)|<n [/math]
con n positivo
Allora, per il ragionamento analogo, le soluzioni saranno

[math] -n<p(x)<n [/math]
che si risolve (trattandosi di due condizioni che devono essere CONTEMPORANEAMENTE verificate (ovvero >-n e <n), a differenza di prima che invece ci andavano bene "o", "o" (e quindi avevamo un'Unione)) con il sistema
[math] \{ p(x)>-n \\ p(x)<n [/math]

Gli altri due casi che puoi trovare sono

[math] |p(x)|>n [/math]
con n negativo che e' sempre verificata dal momento che un valore assoluto e' sempre positivo o nullo e quindi sempre maggiore di un numero negativo;
[math] |p(x)|<n [/math]
con n negativo che non ha soluzioni, dal momento che un valore assoluto essendo sempre positivo o nullo non e' mai minore di un numero negativo.
Ciardo
Ciardo - Sapiens - 377 Punti
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Allora, alla seconda mi trovo e va bene.
Solo che nella terza (che tra l'altro ha "< 1" invece che "> 0" mi da come risultato 1 > x > 2. E dice.

La disequazione può essere scritta nelal formula -1 < x^2 - 3x + 3 < 1

che é equivalente al sistema (da completare)

....... > -1
....... < 1

Chiedo scusa per l'errore.

Poi a un'altra | 5 x - 7 | > 2

Con il sistema mi trovo

| 5 x - 7 | > - 2 Quindi x > 7/5
5 x - 7 > - 2 Quindi x > 1

E x > 7/5

Poi

| 5 x - 7 | < - 2
- 5 x + 7 | < - 2

E mi esce poi x < 7/5 e x < 9/5.

Ma al risultato poi mi esce S = R! °_°
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] |5x-7|>2 [/math]
devi risolverla con l'unione delle soluzioni delle disequazioni
[math] 5x-7>2 \ U \ 5x-7<-2 \to x>9/5 \ U x<1 [/math]

e pertanto la solcuione sara'

[math] x<1 \ U \ x>9/5 [/math]
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