kathrinbergmann
kathrinbergmann - Ominide - 41 Punti
Salva

1. (2tg x/2)/(1+tg^2 x/2)
2. radq(x)/(e^x^2)
3. xlnx/radqx
4. (1-tg^2x)/(1+tg^2x)

Fabien
Fabien - Erectus - 146 Punti
Salva

Ciao.

Cominciamo con la prima funzione:

[math]f(x)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}[/math]
.
ma prima di derivare vediamo se l'espressione si semplifica con le formule trigonometriche. La funzione
[math]\tan(\frac{x}{2})[/math]
si può esprimere in più modi, ad esempio
[math]\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}[/math]
con
[math] \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}[/math]
.
Sostituendo all'espressione di partenza:
[math]f(x)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{1+\frac{(1-\cos(\alpha))^2}{\sin^2(\alpha)}}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{1+\frac{(1-2\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\frac{\sin^2(\alpha)+(1-2\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=[/math]
.
Dalla relazione fondamentale della trigonometria
[math]\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/math]
ricaviamo:
[math]=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\frac{2(1-\cos(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=\sin(\alpha)[/math]
.
La derivata è quindi
[math]f'(x)=\cos(\alpha)[/math]

----
La seconda funzione è
[math]f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^{x^2}}=\sqrt{x}e^{-x^2}[/math]

Ci serve la derivata di un prodotto di due funzioni
[math]g(x)[/math]
e
[math]h(x)[/math]
ed è data da:
[math]f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)[/math]
.
e la derivata di una funzione composta del tipo
[math]f(x)=g({h(x)})[/math]
, cioè:
[math]f'(x)=g'({h(x)})\cdot h'(x)[/math]
.
Nel nostro caso calcoliamo a parte la funzione
[math]h(x)=e^{-x^2}[/math]
, dalla derivata di una funzione composta deriviamo l'esponenziale e poi la funzione che c'è all'esponente:
[math]h'(x)=e^{-x^2}\cdot (-2x)[/math]
.
mentre la derivata
[math]g(x)=\sqrt{x}[/math]
è
[math]g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]
.
Quindi dalla derivata di un prodotto di due funzioni si ottiene
[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{-x^2}+\sqrt{x}\cdot(e^{-x^2}\cdot (-2x))[/math]
.
[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{-x^2}-2x\sqrt{x}\cdot e^{-x^2}[/math]

Raccogliendo
[math]e^{-x^2}[/math]
si ha:
[math]f'(x)=e^{-x^2}\cdot(\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x\sqrt{x})=e^{-x^2}(\frac{1-4x^2}{2\sqrt{x}})[/math]

-----
Passiamo alla terza funzione
[math]f(x)=\frac{x \log{x}}{\sqrt{x}}[/math]

Facendo una razionalizzazione ci portiamo una espressione più agevole
[math]f(x)=\sqrt{x} \log{x}[/math]

Anche in qusto caso interviene la derivata di un prodotto. Calcoliamo a parte le derivate della radice e del logaritmo, posto
[math]g(x)=\sqrt{x}[/math]
e
[math]h(x)=\log{x}[/math]
, abbiamo
[math]g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]
e
[math]h'(x)=\frac{1}{x}[/math]

Applicando la regola della derivata di un prodotto:
[math]f'(x)=\frac{\log{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}[/math]

----
Passiamo all'ultima funzione:
[math]f(x)=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}[/math]

Conviene semplificare l'espressione utilizzando le formule trigonometriche applicando la definizione di tangente:
[math]f(x)=\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}[/math]
.
Elaborando l'espressione precedente si ottiene
[math]f(x)=\frac{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}=\cos(2x)[/math]
.
sfruttando il fatto che al denominatore si applica la relazione fondamentale della trigonometria, al numeratore si usa la formula di duplicazione del coseno.
Adesso basta utilizzare la derivata di una funzione composta
[math]f'(x)=g'(h(x))h'(x)[/math]
.
in conclusione
[math]f'(x)=-2\sin(2x)[/math]

Spero sia stato di aiuto e che sia chiaro il procedimento.
kathrinbergmann
kathrinbergmann - Ominide - 41 Punti
Salva

grazie mille!

Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di luglio
Vincitori di luglio

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Gioinuso

Gioinuso Geek 154 Punti

VIP
Registrati via email