lorè91
lorè91 - Erectus - 130 Punti
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I punti a)e b) sono riuscita a svolgerli , ma non capisco il punto c). Grazie del tempo che potrete dedicarmi.

Data l'ellisse di equazione 16x^2+25y?2=400, determinare:
a) l'equazione della retta AB, essendo A e B i vertici dell'ellisse di ascissa e ordinata positive;
b) le equazioni delle rette parallele ad AB che hanno dai fuochi dell'ellisse distanza uguale alla lunghezza del segmento AB;
c) detto F il fuoco di ascissa positiva, sull'arco AB dell'ellisse posto nel 1°quadrante, un punto P tale che il quadrilatero OFPB abbia area uguale a k.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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c) l'ellisse data, scritta nella sua forma canonica
[math] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1[/math]

sarà

[math] \frac{x^2}{5^2}+ \frac{y^2}{4^2}=1[/math]

I fuochi dell'ellisse sono

[math] F( \pm c,0) \ c= \pm \sqrt{a^2-b^2} [/math]

nel nostro caso
[math] c= \pm \sqrt{25-16}= \pm 3 [/math]

L'arco AB ha come estremi i punti A (5,0) e B(0,4) ovvero rispettivamente

[math] A(a,0) \ B(0,b) [/math]

Dato un punto P sull'arco, avremo un quadrilatero la cui Area sarà data dalla somma dell'Area del triangolo OFB (che è fisso e non varia) e del triangolo FPB.

Pertanto

[math] A_{OFB}+A_{FPA}=k [/math]

come richiesto dall'esercizio

Il triangolo OFB ha Area
[math] A= \frac{3 \cdot 4}{2}=6 [/math]

e pertanto

[math] 6+ A_{FPA}=k [/math]

vediamo i casi limite:

se P coincide con A, avremo un triangolo di base 5 e altezza 4 (il triangolo FPA avrà area 4, essendo la base FA=2 e l'altezza 4)

[math] 6+4=k \to k=10 [/math]

[math] P(5,0) [/math]

Nel caso in cui il punto P coincida con B, allora l'area di FAB sarà 0, e l'area del quadrilatero coinciderà con l'Area di FBO.

[math]k=6 [/math]

[math] P(0,4) [/math]

Adesso vediamo come calcolare l'area del triangolo FPB al variare di P.

Il triangolo FPB avrà come base la distanza tra F e P e come altezza la distanza tra il punto B e la base FP.

Il punto P appartiene all'ellisse, e pertanto, detto
[math] x_0 [/math]
l'ascissa del punto P, la sua ordinata sarà (dall'ellisse)
[math] \pm \sqrt{ \frac{400-16x_0^2}{25}} [/math]
ovvero, raccogliendo e semplificando
[math] \pm \frac{4}{5} \sqrt{25-x^2} [/math]

Dei due valori, considereremo solo quello con il + davanti, visto che siamo nel 1° quadrante)

La distanza tra il punto P e il punto F sarà

[math] \sqrt{(3-x_0)^2+(0- \frac{4}{5} \sqrt{25-x_0^2})^2 [/math]

che dovrebbe venire (ricontrolla i calcoli)
[math]\sqrt{ \frac{9x^2-150x+625}{25}} [/math]

dal momento che il numeratore è
[math]9x^2-150x+625=(3x-25)^2[/math]
la distanza sarà dunque
[math] \frac{3x-25}{5} [/math]

(ovviamente con
[math] 0 \le x \le 5 [/math]
per i casi limite)
Questa è la base del triangolo.

Ora dovrai trovare l'equazione della retta passante per P e F e la distanza tra questa retta e il punto B. otterrai così l'altezza del triangolo..

Prova a vedere se riesci, scrivere tutti i conti qui è lunghissimo!

Al massimo posta se ti blocchi di nuovo!
lorè91
lorè91 - Erectus - 130 Punti
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Ciao, grazie milleee di avermi risposto.
Non ho capito una cosa però: quando faccio la distanza Tra la retta PF e il punto B, si suppone che BP sia perpendicolare a PF. perchè BP è perpendicolare a FP? grazie ancora
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La distanza tra un punto e una retta è la distanza minima che esiste tra il punto e gli infiniti punti della retta.

Tale distanza è proprio il segmento appartenente alla perpendicolare.
lorè91
lorè91 - Erectus - 130 Punti
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ciao, grazie di avermi chiarito il dubbio.
ma se io faccio la distanza tra la retta PF e un altro punto qualsiasi P, la distanza appartiene sempre alla perpendicolare? ad esempio, potevo applicare la formula della distanza tra la retta PF e un punto diverso da B?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Si, quando calcoli la distanza tra un punto e una retta qualunque, la distanza appartiene SEMPRE alla perpendicolare, perchè la distanza tra un punto e una retta è SEMPRE la distanza perpendicolare (cioè la minore tra punto e retta)
lorè91
lorè91 - Erectus - 130 Punti
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:move:move:lol:hi:lol:hiOk, grazie di tutto.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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