silstar
silstar - Erectus - 142 Punti
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[math] lim_{x \to\infty}\frac{x}{x-1}=1 [/math]

devo usare la definzione di limite per x tendente a un valore infinito.(+infinito)
non riesco a capirci niente purtroppo.:cry....so che devo impostare il sistema, ma al momento di risolverlo non so continuare...potreste aiutarmi passaggio per passaggio? grazie mille anticipatamente
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La definizione di
[math]\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\ell[/math]
è la seguente:
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ M>0\ :\ |x|>M\ \Rightarrow\ |f(x)-\ell|<\epsilon[/math]

Per risolverlo, devi impostare il sistema formato dalle equazioni

[math]f(x)<\ell+\epsilon,\qquad f(x)>\ell-\epsilon[/math]
.
Nel tuo caso

[math]\frac{x}{x-1}<1+\epsilon,\qquad\frac{x}{x-1}>1-\epsilon[/math]

che puoi riscrivere come

[math]\frac{-\epsilon x+(1+\epsilon)}{x-1}<0,\qquad \frac{\epsilon x+(1-\epsilon)}{x-1}>0[/math]

Per la prima disequazione si ha
[math]N:\ -\epsilon x+(1+\epsilon)>0\ \Leftrightarrow\ x<1+\frac{1}{\epsilon}[/math]
[math]D:\ x-1>0\ \Leftrightarrow\ x>1[/math]

e quindi la soluzione
[math]x<1,\ x>1+\frac{1}{\epsilon}[/math]


Per la seconda disequazione si ha
[math]N:\ \epsilon x+(1-\epsilon)>0\ \Leftrightarrow\ x>1-\frac{1}{\epsilon}[/math]
[math]D:\ x-1>0\ \Leftrightarrow\ x>1[/math]

e quindi la soluzione
[math]x<1-\frac{1}{\epsilon},\ x>1[/math]
.
Mettendo le due a sistema si trova la soluzione
[math]x<1-\frac{1}{\epsilon},\ x>1+\frac{1}{\epsilon}[/math]
che, scelto
[math]M=1+\frac{1}{\epsilon}[/math]
, essendo anche
[math]M>1-\frac{1}{\epsilon}[/math]
, si può riscrivere come
[math]|x|>M[/math]

e quindi il risultato cercato.
silstar
silstar - Erectus - 142 Punti
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grazie :hi:lol
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego. Chiudo!
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