ginevra87
ginevra87 - Ominide - 46 Punti
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ciao a tutti,

non riesco a capire lo studio di questa funzione:

f(x)= (x+4+│x-4│ ) e^(-(1)/(x+2) ) + ( (│2x-8│ )/(x-4))
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ottimo track, ma puoi notevolmente semplificare. Ecco il modo veloce di ragionare. I due valori assoluti cambiano segno in x=4 che, in particolare, è anche uno dei punti da escludere dal dominio (l'altro è x=-2). Ne segue che la funzione si può riscrivere come

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
2x\cdot e^{-1/(x+2)}+2 & & x>4\\ & & \\
8\cdot e^{-1/(x+2)}-2 & & x<4
\end{array}\right.
[/math]

il cui dominio è
[math](-\infty,-2)\cup(-2,4)\cup(4,+\infty)[/math]
.
a) INTERSEZIONE CON GLI ASSI E SEGNO:
Per x=0 hai f(0)=2, mentre se f(x)\geq 0 hai le due disequazioni

[math]2x\cdot e^{-1/(x+2)}+2\geq 0, x>4,\qquad 8\cdot e^{-1/(x+2)}-2\geq 0, x<4[/math]

che puoi riscrivere come

[math]2x\cdot e^{-1/(x+2)}\geq-2, x>4, \qquad -\frac{1}{x+2}\geq-\log 4, x<4[/math]

La prima è sempre verificata (il membro destro è prodotto di 2 quantità positive essendo x>4 e l'esponenziale una funzione a valori positivi). Per la seconda puoi scrivere

[math]\frac{1-\log 4(x+2)}{x+2}\leq 0[/math]

per cui
[math]N: 1-\log 4(x+2)\geq 0\quad\Longrightarrow x\leq\frac{1}{\log 4}-2[/math]
[math]D: x+2>0\quad\Longrightarrow x>-2[/math]

prendendo il grafico dei segni di queste due disequazioni e considerando che stai cercando le soluzioni nel solo intervallo x<4 ottieni la soluzione

[math](-\infty, -2)\cup (1/\log 4-2, 4)[/math]
.
ne segue che la funzione interseca gli assi nei punti

[math]A(0,2),\qquad B\left(\frac{1}{\log 4}-2, 0\right),[/math]

è positiva su

[math](-\infty, -2)\cup (1/\log 4-2, 4)\cup(4,+\infty)[/math]

ed è negativa su

[math]\left(-2, 1/\log 4-2\right).[/math]


b) COMPORTAMENTO ASINTOTICO:
Abbiamo i seguenti limiti.

[math]\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(8\cdot e^{-1/(x+2)}-2\right)=8\cdot e^0-2=6[/math]

per cui la retta
[math]y=6[/math]
è un asintoto orizzonatle a sinistra.
[math]\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2x\cdot e^{-1/(x+2)}+2\right)=+\infty[/math]
[math]m=\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{m}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2\cdot e^{-1/(x+2)}+\frac{2}{x}\right)=2*e^0=2[/math]
e ponendo
[math]-\frac{1}{x+2}=t,[/math]
[math]q=\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-2x]=\lim_{t\rightarrow 0^-}\left[\left(-\frac{2}{t}-4\right)e^t+2-\left(-\frac{2}{t}-4\right)\right]=
\lim_{t\rightarrow 0^-}\left[\left(-\frac{2}{t}-4\right)\cdot\frac{e^t-1}{t}\cdot t+2\right]=\lim_{t\rightarrow 0^-}\left[-2-4t+2\right]=0[/math]

avendo usato il limite notevole
[math]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1[/math]
, per cui la retta
[math]y=2x[/math]

è un asintoto obliquo destro per f.

Inoltre

[math]\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow -2^-} \left(8\cdot e^{-1/(x+2)}-2\right)=+\infty[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow -2^+} \left(8\cdot e^{-1/(x+2)}-2\right)=-2[/math]

per cui la funzione presenta una discontinuità di seconda specie in x=-2 eliminabile a destra ponendo
[math]f(-2^+)=-2[/math]
e con asintoto verticale la retta
[math]x=-2[/math]
a sinistra.
Infine

[math]\lim_{x\rightarrow 4^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 4^-}\left(8\cdot e^{-1/(x+2)}-2\right)=8\sqrt{e}-2[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow 4^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow 4^-}\left(2x\cdot e^{-1/(x+2)}+2\right)=8\sqrt{x}+2[/math]

per cui la funzione presenta una discontinuità di prima specie in x=4 con salto

[math]s=8\sqrt{x}+2-(8\sqrt{x}-2)=4[/math]
.

c) MONOTONIA ED ESTREMI:
La derivata della funzione, essendo

[math]D(e^{-1/x+2})=e^{-1/(x+2)}\cdot\frac{1}{(x+2)^2}[/math]

risulta

[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
e^{-1/(x+2)}\left(2+\frac{2x}{(x+2)^2}\right) & & x>4\\
& & \\
e^{-1/(x+2)}\cdot\frac{8}{(x+2)^2} & & x<4
\end{array}\right.[/math]

Entrambe le funzioni risultano sempre positive sui loro domini di definizione. Questo implica che la funzione è sempre monotona crescente e non ha punti di massimo o minimo realtivi o assoluti.

d) CONVESSITA' E FLESSI:
Non sto a calcolarla perché è di una noia mortale. Basta osservare, cmq, che dalla monotonia della funzione e dal suo comportamento asintotico si puù dedurre, immediatamente, che la f risulta con concavità verso l'alto (convessa) in
[math](-\infty,-2)[/math]
e con concavità verso il basso (concava) nel resto del dominio. Inoltre non presenta flessi.

Il grafico di f è mostrato in figura.
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Lascio il posto a chi ne sa di più. :thx:thx
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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...eheh e come direbbe mitra, DIO CIAMPAX!!!!!!:)
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