ginevra87
ginevra87 - Ominide - 46 Punti
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Ciao a tutti!
come si risolve?

[math]
\ x \ +y \ \ \ \ \ = \ b \\
ax \ +y \ \ \ +z= \ 1 \\
\ x \ \ +ay \ +az= \ 1 \\
\ \ \ \ \ +y \ \ \ +z= \ 0
[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmmmmmmmmm....... mi sembra tanto un esercizio di algebra lineare, giusto? Bè, allora il metodo più veloce (considerando che si tratta di un sistema di 4 equazioni in tre incognite e quello di ridurre la matrice completa (quella dei coefficienti + termini noti) utilizzando la riduzione di Gauss-Jordan (riduzione della matrice in forma triangolare). Da lì hai tutte le condizioni per determinare, al variare di a e b, se ci siano e quante siano le soluzioni del sistema. La matrice da ridurre è

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & b\\
a & 1 & 1 & 1\\
1 & a & a & 1\\
0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)[/math]

la cui riduzione in forma triangolare è

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&0&b\\
0&1-a&1&1-ab\\
0&0&a+1&2-b-ab\\
0&0&0&a-1\end{array}\right)[/math]

Da questa puoi dedurre che il sistema è compatibile se e solo se
[math]a=1[/math]
. In tal caso la matrice diventa
[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&0&b\\
0&0&1&1-b\\
0&0&2&2-2b\\
0&0&0&0\end{array}\right)[/math]

e quindi, visto che la riga 2 e 3 sono proporzionali si ha il sistema

[math]x+y=b,\qquad z=1-b[/math]

da cui le soluzioni

[math](b-\alpha,\alpha,1-b)[/math]

che rappresentano un sottospazio 1 dimensionale per ogni valore di b reale.
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