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Emaguerra - Sapiens Sapiens - 1334 Punti
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Su una semicirconferenza di diametro AB = 2r, determinare un punto c tale che, detto h la sua proiezione ortogonale su AB, sia verificata la seguente relazione: (CB+AH)/(AB+HB) = 11/10

Magari anche con spiegazione :)
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BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Poniamo AH=x

Pertanto HB=2r-x

Vediamo i casi limite.

C coincide con A, dunque H coincide con A : x=0

CB=AB=2r
AH=0
AB=2r
HB=AB=2r

La relazione sara'

[math] \frac{2r+0}{2r+2r}= \frac{2r}{4r}= \frac12 [/math]

C coincide con B dunque H coincide con B, x=2r

CB=0
AH=AH=2r
AB=2r
HB=0

La relazione sara'

[math] \frac{0+2r}{2r+0}=1 [/math]

Consideriamo dunque il triangolo ACB.
Il triangolo e' inscritto in una semicirconferenza, pertanto sara' retto in C.

CH ne rappresenta l'altezza: per il secondo teorema di Euclide, il suo quadrato e' medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa AB (quindi tra AH e HB)

Allora

[math] \bar{CH}^2= \bar{AH}\bar{HB}=x(2r-x)=2rx-x^2 [/math]

E quindi

[math] \bar{CH}= \sqrt{2rx-x^2} [/math]

CB e' un cateto, che possiamo ricavare con Pitagora, o meglio ancora con il primo di Euclide (che enuncia che il quadrato del cateto e' uguale al prodotto della proiezione di quel cateto sull'ipotenusa per l'ipotenusa)

Quindi

[math] \bar{CB}^2=\bar{HB}\bar{AB}=(2r-x)(2r) [/math]

Qui come puoi vedere ci rendiamo conto che forse era opportuno porre x=HB, per evitare di trovarci in calcoli piu' lunghi.

L'altezza che ho calcolato, e' in piu'.. Sarebbe tornata utile se avessimo utilizzato Pitagora per il triangolo CHB

Cambiamo dunque l'incognita.

I casi limite rimangono invariati, (si "scambiano";), ma avremo:

CH identica..

CB sara'
[math] \sqrt{2rx} [/math]

AH=2r-x

HB=x

La relazione dunque sara'

[math] \frac{ \sqrt{2rx}+2r-x}{2r+x}= \frac{11}{10} [/math]

Da cui

[math] 10( \sqrt{2rx}+2r-x)=11(2r+x)[/math]

Moltiplichiamo

[math] 10 \sqrt{2rx}+20r-10x=22r+11x [/math]

Teniamo solo la radice a sinistra

[math] 10 \sqrt{2rx}=2r+21x [/math]

eleviamo tutto al quadrato (ambo i membri)

[math] 100(2rx)=4r^2+84rx+441x^2 \to 200rx-84rx-4r^2-441x^2=0 [/math]

E quindi

[math] 441x^2-116rx+4r^2=0 [/math]

Da cui, utilizzando la ridotta

[math] \Delta= 58^2r^2-441(4r^2)=3364r^2-1764r^2=1600r^2 [/math]

[math] x= \frac{58r \pm \sqrt{1600r^2}}{441} [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{58r \pm 40 r}{441} [/math]

[math] x_1= \frac{98r}{441} [/math]

[math] x_2= \frac{18r}{441} [/math]



Mi sembra un risultato un po' "particolare".

Il procedimento e' corretto, pero'.

Delle due soluzioni bisognera' comunque valutare quale e' compresa tra 0 e 2r.

Entrame sono comprese nell'intervallo di esistenza, quindi, supposti corretti i calcoli, sono entrambe soluzioni accettabili.
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