Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
Buongiorno a tutti.

Ho un problema di matematica da risolvere che però, nonostante le apparenze, è alquanto laborioso da svolgere.

Inserisco qui di seguito il testo:

<< Nel piano siano dati due vettori u = (2,1) e v = (1,3). Determinare i coseni direttori delle bisettrici degli angoli formati dai due vettori. >>

I coseni direttori rappresentano le componenti di un versore. In questo caso quindi dovrei trovare il versore della bisettrice. Come prima cosa ho trovato gli angoli formati dai vettori:

[math]\theta_{1,2} = \arccos{ \frac{\langle u,v \rangle}{||u||||v||} }[/math]

[math]\langle u,v \rangle = (2*1)+(1*3) = 5[/math]

[math]||u|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}[/math]

[math]||v|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}[/math]

[math]\theta_{1,2} = \arccos{ \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10} } = \arccos{ \frac{5}{\sqrt{50}} } = \arccos{ \frac{5}{5\sqrt{2}} } = \arccos{ \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]

[math]\theta_1 = \frac{\pi}{4}[/math]
;
[math]\theta_2 = \frac{5}{4}\pi[/math]

Come posso trovare le bisettrici di tali angoli? Io ho trasformato tutto in coordinate polari, però il risultato della dispensa è espresso in coordinate cartesiane...

RISULTATI

I Bisettrice:

[math]\cos\theta_1 = \pm \frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

[math]\cos\theta_2 = \pm \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

II Bisettrice:

[math]\cos\theta_1 = \pm \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

[math]\cos\theta_2 = \pm \frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{10}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

Mi dareste una mano? Grazie.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
Rispondi Cita Salva
Io farei così:
trovo l'angolo polare dei vettori u e v:
[math]\theta_u = \arccos \left ( \frac {\vec u \cdot \vec u}{ |u|^2} \right )[/math]
[math]\theta_v = \arccos \left ( \frac {\vec v \cdot \vec v}{ |v|^2} \right )[/math]

Poi, trovo l'angolo del polare della bisettrice come media algebrica degli angoli polari del vettore u e v;
Una volta trovato l'angolo polare della bisettrice per trovare il versore corrispondente a quella direzione, proietto il vettore di norma unitario sugli assi x e y...
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
Cherubino: Io farei così:
trovo l'angolo polare dei vettori u e v:
[math]\theta_u = \arccos \left ( \frac {\vec u \cdot \vec u}{ |u|^2} \right )[/math]
[math]\theta_v = \arccos \left ( \frac {\vec v \cdot \vec v}{ |v|^2} \right )[/math]

Poi, trovo l'angolo del polare della bisettrice come media algebrica degli angoli polari del vettore u e v;
Una volta trovato l'angolo polare della bisettrice per trovare il versore corrispondente a quella direzione, proietto il vettore di norma unitario sugli assi x e y...

Ti ringrazio per la risposta, però ho provato anche in quel modo e mi viene un risultato gigantesco espresso in coordinate polari... Ho aggiornato il mio post precedente, dove mostro i risultati che dovrebbero venire. Continuerò a provare, magari ho fatto un semplice errore di calcolo (anche se è la decima volta che provo).
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
Rispondi Cita Salva
Un altro modo è questo:
poiché trovi che l'angolo tra i due vettori è
[math]\frac \pi 4[/math]
,
la direzione della bisettrice è quella del vettore u ruotato positivamente di
[math]\frac \pi 8[/math]
;
Nel piano, la rotazione di un vettore di un angolo theta si esegue così:
[math]\left ( u_x^', u_y^' \right ) = \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{array} \right ) \;
\left (
\begin{array}{c}
u_x\\
u_y \\
\end{array}
\right )
[/math]

Nel nostro caso quindi,
[math]\theta = \pi/8[/math]

Una volta che hai ruotato il vettore u, lo normalizzi a 1, e ottieni il versore cercato..
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
se prima normalizzi u e v, poi trovi le bisettrici con la somma vettoriale (regola del parallelogramma). normalizzi nuovamente le bisettrici e col prodotto scalare coi vettori (1,0) e (0,1) trovi esattamente cos(a1) e cos(a2) per ognuno dei 2 vettori
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
xico87: se prima normalizzi u e v, poi trovi le bisettrici con la somma vettoriale (regola del parallelogramma). normalizzi nuovamente le bisettrici e col prodotto scalare coi vettori (1,0) e (0,1) trovi esattamente cos(a1) e cos(a2) per ognuno dei 2 vettori

Sei sicuro? Ma la risultante di due vettori è sempre la bisettrice dell'angolo conpreso tra tali vettori? Avevo pensato a questa possibile soluzione, però l'avevo esclusa perché non mi sembrava convincente... Avevo anche provato a trovare l'angolo tra i vettori (u e v) e gli assi cartesiani (1,0) e (0,1) e poi sommare il risultato con la metà dell'angolo compreso.. (ma mi veniva un mumero in virgola mobile a 20 cifre)... adesso provo. Grazie mille ad entrambi.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
le diagonali di un rombo sono le bisettrici degli angoli. in un parallelogramma che non sia un rombo non vale altrettanto

edit: il trucco sta proprio nella prima normalizzazione
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
Geniale! Hai ragione! Infatti così costruirò un quadrato di lato 1! Il mio problema è l'aver poca intuizione... come vorrei avercela per queste cose... Io mi scervellavo con le coordinate polari, invece...

Grazie ancora.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
non mi pare però sia un quadrato quello che ti esce: v e u non sono perpendicolari tra loro, quindi anche dopo al normalizzazione l'angolo tra essi formato sarà diverso da 90°. cmq l'idea è quella del rombo
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
xico87: non mi pare però sia un quadrato quello che ti esce: v e u non sono perpendicolari tra loro, quindi anche dopo al normalizzazione l'angolo tra essi formato sarà diverso da 90°. cmq l'idea è quella del rombo

Si giusto, ho sbagliato termine. E' un rombo... infatti prima avevo detto che formano 45°.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
ok. se hai risolto e i risultati escono chiudo il thread.
edit: chiuderò in un altro momento visto che per ora non rispondi
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
I risultati purtroppo non mi escono... Qua di seguito scrivo tutto il procedimento che mi hai suggerito...

<< Nel piano siano dati due vettori
[math]\vec u = (2,1)[/math]
e
[math]\vec v = (1,3)[/math]
. Determinare i coseni direttori delle bisettrici degli angoli formati dai due vettori. >>
1. Trovo il modulo dei vettori
[math]\vec u[/math]
e
[math]\vec v[/math]
:
[math]||\vec u|| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}[/math]
[math]||\vec v|| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}[/math]

2. Trovo i versori dei vettori
[math]\vec u[/math]
e
[math]\vec v[/math]
:
[math]vers(\vec u) = \frac{\vec u}{||\vec u||} = \frac{(2,1)}{\sqrt{5}} = (\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})[/math]
[math]vers(\vec v) = \frac{\vec v}{||\vec v||} = \frac{(1,3)}{\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}})[/math]

3. Ottengo il vettore bisettrice
[math]\vec b[/math]
trovando la risultante dei due versori (diagonale rombo):
[math]\vec b = vers(\vec u) + vers(\vec v) = (\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{10}}) =[/math]

[math]= (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{10}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{10}}) = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{50}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{\sqrt{50}}) = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})[/math]

4. Trovo il versore della bisettrice:

[math]vers(\vec b) = \frac{\vec b}{||\vec b||} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})^2}+{(\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})^2}}} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{\frac{9+4\sqrt{2}}{10}+\frac{11+6\sqrt{2}}{10}}} =[/math]

[math]= \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{\frac{20+10\sqrt{2}}{10}}} = \frac{(\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}})}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})})=[/math]

[math]= (\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{5}}{10\sqrt{2}},\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{10\sqrt{2}}) = ???[/math]

Se non ho fatto errori di calcolo, direi che i risultati non mi vengono...
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
ti dimentichi di motliplicare per i vettori (1,0) e (0,1) il vers(b)
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
Rispondi Cita Salva
xico87: ti dimentichi di motliplicare per i vettori (1,0) e (0,1) il vers(b)

Questo passaggio non l'ho compreso. Se ho già il versore della bisettrice (che è quello che mi interessa), perché dovrei moltiplicare per i vettori u e v? Cosa servirebbe? E come?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
a te interessano le proiezioni della bisettrice, però ora che ci penso basta semplicemente prendere le componenti del vers(b). prova a svolgere i calcoli con una calcolatrice e confronta i risultati che ti mettono coi tuoi, magari si tratta solo di una razionalizzazione diversa. il procedimento è corretto

Pagine: 123

Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 248 Punti

Comm. Leader
Tony83

Tony83 Tutor 24038 Punti

VIP
Registrati via email