twilighter
twilighter - Erectus - 120 Punti
Rispondi Cita Salva
aiuto sono disperata!!! :cry :cry :cry :cry
potreste spiegarmi le relazioni in un insieme....
in particolare:
relazione di equivalenza - classi di equivalenza...insieme quoziente
relazione d'ordine - ordine stretto e ordine largo -ordine totale e parziale.
potreste spiegarmi questi arogmenti e mgari per rendervi pù facile il lavoro potreste anke fare degli esempi....vi prego aiutatemiiii
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
Rispondi Cita Salva
Allora una relazione tra due insiemi A e B

Si indica con
[math]{R}: \ A\rightarrow B[/math]

è una legge che associa ad un elemento del primo insieme un elemento dell'altro.
Cioè se il primo insieme contiene le lettere dell'alfabeto e il secondo insieme contiene i numeri da 1 a 10 una legge che dice:

"Alla lettera A associa il numero 3 e alla lettera T associa il numero 9"

è una relazione.

In realtà in senso più ampio una relazione è un qualunque enunciato che coinvolga 2 o più oggetti.
Se indichi con
[math]\sim[/math]
una relazione
[math]R[/math]
allora
[math]a\sim b[/math]
significa che a è in relazione con b
Ora relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e insieme quoziente sono concetti strettamente connessi:

Una relazione di equivalenza è una particolare relazione da un insieme in se stessa che rispetta certe proprietà.

-Riflessività:
[math]a\sim a[/math]
-Simmetria:
[math]a\sim b\Rightarrow b\sim a[/math]
-Transitività:
[math]a\sim b, \ \ b\sim c \Rightarrow a\sim c[/math]

Il tutto per qualsiasi elemento
[math]a,b,c[/math]
che coinvolge la relazione.
Una relazione di equivalenza cosa fa quindi? associa 2 elementi. Tecnicamente 2 elementi associati da una relazione di equivalenza sono uguali (l'uguaglianza tra l'altro è una particolare relazione di equivalenza).

Quindi possiamo dire che data una relazione tra 2 insiemi diciamo che una classe di equivalenza è formata dagli elementi che sono associati a due a due dalla relazione di equivalenza.
Quindi presi due elementi
[math]a,b[/math]
hai che essi appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se
[math]a\sim b[/math]
.
Nota che ogni relazione di equivalenza ripartisce un insieme in classi di equivalenza.
Ora un insieme quoziente che si indica con
[math]A/{\sim}[/math]
è l'insieme di queste classi di equivalenza.
E' come se la relazione
[math]\sim[/math]
avesse decimato l'insieme sul quale è definita mettendo insieme tutti gli elementi associati dalla relazione stessa.
Immagina l'insieme dei numeri razionali (le frazioni). La relazione che è presente in questo insieme è la seguente

[math]\frac ab \sim \frac cd \Leftrightarrow ad=bc[/math]

cioè due frazioni sono uguali se e solo se i prodotti incrociati numeratore denominatore sono uguali.
(es.
[math]\frac12 =\frac 24 [/math]
infatti
[math]1\cdot4=2\cdot2[/math]
Puoi verificare se vuoi che la relazione è di equivalenza.
L'insieme delle classi di equivalenza è detto insieme quoziente.





Una relazione d'ordine è una relazione che per certi versi puoi paragonare a quella di equivalenza (per altri puoi opporla ad essa).
E' una relazione
[math]\le[/math]
("essere maggiore o uguale" è una relazione d'ordine) da un insieme A in se stesso che rispetta queste proprietà:
-Riflessività:
[math]a\le[/math]
-Antiimmetria:
[math](a\le b\Rightarrow b\le a) \Leftrightarrow a=b[/math]
Cioè la simmetria vale se e solo se gli elementi sono uguali.
-Transitività:
[math]a\le b, \ \ b\le c \Rightarrow a\le c[/math]

A volte si distingue tra relazione d'ordine largo e di ordine stretto.

Le prime sono definite come ti ho detto poco fa.

Le seconde rispettano solo l'antisimmetria e la transitività.

Gli esempi più banali sono:

Relazione d'ordine largo:
[math]a\ge b[/math]
o allo stesso modo
[math]c\le d[/math]
.
Relazione d'ordine stretto
[math]a>b[/math]
o allo stesso modo
[math]c<d[/math]

Puoi vedere che rispettano le proprietà di sopra.


Un insieme in cui è definita una relazione d'ordine si dice Insieme parzialmente ordinato. Se tutti gli elementi sono confrontabili cioè se

[math]a\le b[/math]
oppure
[math]b\le a[/math]
per ogni coppia di elementi a, b allora l'insieme si dice totalmente ordinato.

Spero di essere stato chiaro. Ora è un po' tardi per farti degli esempi ma se hai bisogno per qualche esercizio chiedi pure.
Lascio aperto questo topic quindi puoi postare qui.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 208 Punti

Comm. Leader
mattbit

mattbit Geek 281 Punti

VIP
Registrati via email