oltreoceano90
oltreoceano90 - Sapiens - 530 Punti
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come posso dimostrare con il teorema di lagrange che
[math]x^x[/math]
>=senx per ogni x maggiore di 0??
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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teorema lagrange:
sia f(x) definita in X, continua nell'intervallo [a,b] e derivabile in (a,b).
allora
[math] \exists \, c \in (a,b) \, : \, \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c) [/math]

-------------------------------------------------------------------------------

considera
[math] f(x) = x^x - \sin x \geq 0 [/math]

se f(b) - f(a) è negativa lo è anche il rapporto incrementale (infatti, se poni a = 0, il denominatore del rapporto incrementale è sempre maggiore di 0).
in altri termini
[math] f(b) - f(a) \geq 0 \Rightarrow \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c) \geq 0 [/math]


visto che ti interessa sapere il segno, ti basta verificare che risulta f'(x) >= 0 per ogni x appartenente ad (a,b)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Non sono completamente d'accordo con ciò che dici, xico. Punto primo, tu vuoi dimostrare che
[math]f(x)\geq 0[/math]
per ogni x positivo e non assumerlo. Quello che devi fare semmai è verificare che, prendendo un qualsiasi intervallo della forma
[math](0,x)[/math]
dal teorema di Lagrange puoi dedurre tale diseguaglianza!
Il modo giusto di procedere è quindi il seguente: considera un intervallo
[math](0,x)[/math]
. Posto
[math]f(x)=x^x-\sin x[/math]
, abbiamo
[math]\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=1[/math]
.
Puoi allora supporre che

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & x=0\\
f(x) & & x>0
\end{array}\right.[/math]

A questo pungo applica Lagrange per la funzione g: essa è continua e derivabile su ogni intervallo del tipo considerato e quindi esiste sempre un
[math]c_x\in(0,x)[/math]
tale che
[math]g'(c_x)=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\frac{g(x)-1}{x}[/math]

Quindi

[math]g(x)=x g'(c_x)+1[/math]

Poiché

[math]g'(x)=x^x\left[\log(x)+1]-\cos x[/math]

abbiamo

[math]g(x)=x \left\{c_x^{c_x}[\log(c_x)+1]-\cos(c_x)}+1[/math]

A questo punto se
[math]c_x\geq 1[/math]
abbiamo
[math]c_x^{c_x}>1,\quad \log(c_x)\geq 0[/math]

e quindi

[math]g(x)\geq x(1-\cos(c_x))+1\geq 1>0[/math]

mentre se
[math]0<c_x<1[/math]
le cose si complicano notevolmente!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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scusa, per il primo punto hai ragione tu, distrattamente ho scritto la disuguaglianza f(x) >= 0. d'altra parte se avessi effettivamente assunto f(x) >= 0 non ci sarebbe stato bisogno di proseguire. l'errore a seguire poi deriva dal fatto che ho male interpretato un punto del teorema (si dice "esiste almeno un c appartenente ad (a,b)"..), quindi ho fatto cilecca pure di là. ma dal momento che non c'è 2 senza 3 controlla che non abbia sparato altre cazzate in giro, che stasera sono a terra come un copertone (bucato)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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E chiudo anche questa!
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