indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Per trovare il massimo e minimo di una funzione, bisogna porre la derivata prima uguale a 0 e dopo se ci sono due x, basta vedere la y maggiore e dire quale è il minimo e quale il massimo?

Ho questa funzione, l'ho svolta , vorrei vedere se ho fatto bene

[math]f(x)=xe^-(x^2)/2[/math]

[math]f'(x)=e^-x^2/2(1-x)[/math]

Non scrivo tutti i passaggi, ho applicato la formula della derivata e credo di trovarmi, in tal caso dateci una occhiatina. :)

studio del massimo e minimo:
[math](e^-x^2/2(1-x)=0[/math]

[math]e^-x^2/2=0[/math]
[math](1-x)=0[/math]

per la prima non c'è nessuna
[math]x[/math]
che mi risolve quella equazione
invece per
[math](1-x)=0[/math]
[math]x=1[/math]
[math]y=1/sqrt(e)[/math]

è un punto di minimo, poi la funzione cresce sempre.

secondo voi va bene come ragionamento?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

non riesco a scriverlo :( scusate

la funzione sarebbe:

y=e^[(-x^2)/2]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La funzione è

[math]f(x)=e^{-x^2/2}[/math]
???
Allora

[math]f'(x)=-x e^{-x^2/2}[/math]

e si annulla in
[math]x=0[/math]
. Dal momento che l'esponenziale è sempre positivo, risulta
[math]f'<0[/math]
se
[math]x>0[/math]
e
[math]f'>0[/math]
se
[math]x<0[/math]
. Segue che la funzione decresce a destra di
[math]x=0[/math]
e cresce alla sua sinistra. Quindi
[math]x=0[/math]
è punto di massimo e si ha
[math]M(0,1)[/math]
è il massimo della funzione.
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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la funzione è quella che hai scritto tu, ma è moltiplicata per
[math]x[/math]

scusami se non riesco a scrivere bene le formule.

io di questa funzione mi sono trovata la derivata prima ed é:

f'(x) = (1-x) e^[(-x^2)/2]

l'esponenziale come hai detto anche tu, è sempre positivo, quindi devo studiare

[math](1-x)=0[/math]

[math]x= 1[/math]

metto il punto nella funzione iniziale e viene:

[math]y=1/sqrt(e)[/math]

e credo sia un punto di minimo
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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penso che la funzione sia

[math]f(x)=x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}[/math]
da cui
[math]f'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}=(1-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}[/math]

o sbaglio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Se è come dice Aleio, allora devi verificare quando

[math]1-x^2=0[/math]

e ciò accade per
[math]x=\pm 1[/math]
. Inoltre, essendo
[math]1-x^2>0[/math]
per
[math]-1<x<1[/math]
segue che
[math]f'>0\qquad -1<x<1\\ f'<0\qquad x<-1,\ x>1[/math]

e quindi i punti -1 e +1 risultano, rispettivamente, di minimo e di massimo.
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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hai che
[math]1-x^2\ge0\rightarrow-1\le x\le1\\
e^{-\frac{x^2}{2}}\ge0 \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}[/math]

da cui hai che la funzione ha un minimo in -1 e un massimo in 1

Aggiunto 11 minuti più tardi:

hai poi anche che la derivata seconda è

[math]y''=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}-(x-x^3)e^{-\frac{x^2}{2}}=(x^3-3x)e^{-\frac{x^2}{2}}[/math]

da cui hai

[math]y''\ge0\rightarrow x(x^2-3)\ge0 \rightarrow \ -\sqrt3\le x \le0 \ \vee \ \sqrt3\le x\le+\infty [/math]

..
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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avete ragione, ho mancato di moltiplicare
[math]x*x[/math]

errore di distrazione...scusate tutti.

grazie per le risposte
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