aneres93
aneres93 - Habilis - 213 Punti
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mi sapreste svolgere i seguenti limiti?

1-
[math]\begin{matrix}
lim\\
x \to +\infty \left
\end{matrix}
( \frac{2x+1}{2x+3} \right )^{x-1}[/math]

2-
[math]\begin{matrix}
lim\\
x \mapsto 0
\end{matrix}
\frac{(1+2x)^{4}-1}{x}[/math]

3-
[math]\begin{matrix}
lim\\
x \mapsto 1
\end{matrix}
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{4}-4x+3}[/math]
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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1)
[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x+1}{2x+3})^{x-1}[/math]
[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x+1}{2x+3})^{x} *\frac{2x+3}{2x+1}[/math]
in entrambe le frazioni si raccoglie 2x
[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{2x(1+ \frac{1}{2x})}{2x(1+ \frac{3}{2x})})^{x} *\frac{2x(1+ \frac{3}{2x})}{{2x(1+ \frac{1}{2x})}[/math]
si semplifica
[math]\lim_{x \to \inf} (\frac{1+ \frac{1}{2x}}{1+ \frac{3}{2x}})^{x} *\frac{1+ \frac{3}{2x}}{1+ \frac{1}{2x}}[/math]
e teniamo presente il limite notevole
[math]\lim_{x \to \inf} (1+ \frac{a}{x})^{x} =e^a[/math]
quindi applichiamo il limite
=
[math] \frac{e^{1/2} *1}{e^{3/2} *1}=e^{1/2-3/2}= \frac{1}{e}[/math]


2) ci si rifà al limite notevole
[math]\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\theta}-1}{x}=\theta[/math]
si moltiplica e si divide la funzione per 2
[math]\lim_{x \to 0} 2 \frac{(1+2x)^{\4}-1}{2x}=2*4=8[/math]

3)
[math]\lim_{x \to 1} \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}[/math]
scomponiamo numeratore e denominatore
[math]\lim_{x \to 1} \frac{(2+x)(x^2-2x+1)}{(x^2+2x+3)(x^2-2x+1)}[/math]
si semplifica
[math]\lim_{x \to 1} \frac{2+x}{x^2+2x+3}[/math]
e si applica il limite
[math]\lim_{x \to 1} \frac{2+x}{x^2+2x+3}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}[/math]
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