Lady Vampire
Lady Vampire - Sapiens Sapiens - 1549 Punti
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Data la funzione

f(x)=
[math]\frac{x+2}{x-1}[/math]
x<0
[math]\frac{ln(ax+1)}{x}[/math]
x>0
trovare per quale valore di a nel punto x=0 ammette il limite.
Per il valore trovato di a la funzione risulta continua in x=0?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il logaritmo è definito se
[math]ax+1>0[/math]
e quindi per
[math]x>-1/a,\qquad se\ a>0\\ x<-1/a,\qquad se\ a<0[/math]
.
Affinché il secondo ramo sia definito per ogni
[math]x>0[/math]
è sufficiente che sia
[math]-1/a<0,\qquad se a>0[/math]
e quindi che
[math]a>0[/math]
, mentre se
[math]a<0[/math]
la funzione risulta definita solo sull'intervallo
[math](0,-1/a)[/math]
. Si ha
[math]\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{ax}{x}=a[/math]

mentre

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=-2[/math]

La funzione risulta dunque continua solo se
[math]a=-2[/math]
mentre negli altri casi presenta una discontinuità di prima specie con salto pari a
[math]s=a+2[/math]
.
Lady Vampire
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Grazie :)
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