lucyrenzo
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Vi chiedo scusa sin da subito se non aspetto la mezzanotte per aprire un altro thread ma ho necessità di capire come svolgere il seguente limite con parametro:
[math]\lim_{x\rightarrow 0^+}\ \frac{e^{2x}- \sin 2x+2\beta}{x^\beta(1-\cos x)}
[/math]
il numeratore non dorebbe dare particolari problemi dal momento che per x->0+
e^2x ->1 , sin2x->0 , 2beta=cost
Il denominatore è uguale a 0...ma sicuramente sto sbagliando perchè così il parametro risulta essere inutile...
Vi ringrazio per l'aiuto.

p.s. ho calcolato per beta >=0. Ma per beta <0, non sono riuscita a trovarmi il limite..:(
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, questo lo so fare! :) In realtà, prima di farti questi ragionamenti, ti conviene riscrivere il limite nella maniera migliore per poter lavorare con i parametri. In questa situazione, ti consiglio sempre di sostituire, al posto delle funzioni, le loro parti principali (o gli sviluppi secondo Taylor). Poiché

[math]e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+o(t^3)[/math]

[math]\sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)[/math]

[math]\cos t=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)[/math]

ottieni il seguente limite

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+}\ \frac{1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+o(x^3)-2x+\frac{4x^3}{3}+o(t^3)+2\beta}{x^\beta\left(\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)}=\\
\lim_{x\rightarrow 0^+}\ 2\cdot\frac{1+2\beta+2x^2+o(x^2)}{x^{\beta+2}+o(x^{\beta+2})}[/math]

e quindi il limite

[math]2(1+2\beta)\cdot\lim_{x\rightarrow 0^+} x^{-\beta-2}=
\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \beta<-2\\ -6 & & \beta=-2\\ -\infty & & -2<\beta<-1/2\\ +\infty & & \beta\geq-1/2
\end{array}\right.[/math]

Spero sia abbastanza chiaro!
lucyrenzo
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ehm...ciampax....non ho ancora fatto gli sviluppi di taylor...p.s. perchè -1/2?
sinora ho trovato valore limite (con limiti notevoli) per beta>=0 e per beta=-1 e beta=-2....
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Davvero? Non hai fatto Taylor? Mmmmmmmmmmmmmmm....... Allora bisogna risolverlo passo passo!

Ti dispiace se te lo scrivo per benino domani? Perché adesso muoio di sonno!
lucyrenzo
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ti risparmio ciampax.Calcolato per benino. Grazie infinite per l'aiuto. Puoi chiudere il thread:hi
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Lo rifaccio in un modo più semplice! (e comunque ho fatto un errore di calcolo).

Puoi usare i limiti notevoli: poiché sai che

[math]\frac{e^t-1}{t},\qquad \frac{\sin t}{t}\qquad \frac{1-\cos t}{t^2}[/math]

tendono a 1,1 e 1/2 rispettivamente per t che tende a zero, hai pure il comportamento asintotico

[math]e^t\sim t+1,\qquad \sin t\sim t\qquad 1-\cos t\sim\frac{t^2}{2}[/math]

e quindi il limite diventa

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+}\ 2\frac{1+2x-2x+2\beta}{x^{\beta+2}}=
2(1+2\beta)\cdot\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{-\beta-2}[/math]

Adesso analizza separatamente i comportamenti in questo prodotto. Per il limite hai

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+} x^{-\beta-2}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & -\beta-2>0\\ 1 & & -\beta-2=0\\ +\infty & & -\beta-2<0
\end{array}\right.[/math]

mentre hai

[math]2(1+2\beta)\left\{\begin{array}{lcl}
<0 & & \beta<-1/2\\ =0 & & \beta=-1/2\\ >0 & & \beta>-1/2
\end{array}\right.[/math]

Mettendo insieme queste condizioni ottieni per il limite originale

[math]\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \beta<-2\\ -6 & & \beta=-2\\ -\infty & & -2<-1/2\\ +\infty & & \beta>-1/2
\end{array}\right.[/math]


Per il caso di
[math]\beta=-1/2[/math]
l'unico modo per vederlo è quello di usare gli sviluppi di Taylor. In tal caso tra l'altro, il limite fa 0, e non infinito!



P.S.: avendo già avuto risposte in pm, chiudo!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (11-02-09 15:50, 7 anni 10 mesi 2 giorni )
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