Rossella90P
Rossella90P - Erectus - 50 Punti
Rispondi Cita Salva
lim log(1+3x^2)-xsin(3x)/2-x^2-2cosx
x->+infinito

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (03-05-09 20:16, 8 anni 1 mese 27 giorni )
ciampax
ciampax - Tutor - 29218 Punti
Rispondi Cita Salva
E' questo il limite?

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin(3x)}{2-x^2-2\cos x}[/math]

Quali sono i problemi?
Rossella90P
Rossella90P - Erectus - 50 Punti
Rispondi Cita Salva
Si è questo il limite. Non riesco a risolverlo
ciampax
ciampax - Tutor - 29218 Punti
Rispondi Cita Salva
Gli sviluppi di Taylor dovresti usarli solo se calcoli il limite per
[math]x\rightarrow 0[/math]
! In questa situazione, con x che va all'infinito, puoi procedere così
[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\left(\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}-\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2\left(\frac{2}{x^2}-1-\frac{2\cos x}{x^2}\right)}=
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}-\frac{\sin x}{x^2}}{\frac{2}{x^2}-1-\frac{2\cos x}{x^2}}[/math]

Ora analizza separatamente i vari pezzi: hai per il primo, usando de l'Hopital

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{6x}{1+3x^2}}{2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3}{1+3x^2}=0[/math]

per il secondo e il terzo, essendo le funzioni seno e coseno limitate

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\cos x}{x^2}=0[/math]

e quindi

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=\frac{0-0}{0-1-0}=0[/math]

Se invece il limite lo fai a zero, allora usa questi sviluppi

[math]\sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+o(t^5)[/math]

[math]\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4!}+o(t^4)[/math]

[math]\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)[/math]

da cui

[math]\sin(3x)=3x-\frac{9x^3}{2}+\frac{81 x^5}{40}+o(x^5)[/math]

[math]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)[/math]

[math]\log(1+3x^2)=3x^2-\frac{9x^4}{2}+9 x^6+o(x^6)[/math]

e quindi

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1+3x^2)-x\sin x}{2-x^2-2\cos x}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2-\frac{9x^4}{2}+9 x^6+o(x^6)-3x^2+\frac{9x^4}{2}-\frac{81 x^6}{40}+o(x^6)}{2-x^2-2+x^2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{279}{40} x^6+0(x^6)}{-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}=0[/math]

in quanto al numeratore c'è una potenza più alta della x.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di maggio
Vincitori di maggio

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

sbardy

sbardy Admin 22821 Punti

VIP
Registrati via email