kissah
kissah - Ominide - 29 Punti
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limite di ln (x+2^x)-ln(2x+e^x) per x che tende a +infinito
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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penso si possa risolvere senza de l'hopital con qualche piccola osservazione sul fatto che l'esponenziale tende ad infinito molto più velocemente di qualsiasi altra funzione..


[math]\lim_{x\to+\infty} \ \ log(x+2^x)-log(2x+e^x)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{x+2^x}{2x+e^x}\right)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{\not {x}\left(1+\frac{2^x}x\right)}{\not{x}\left(2+\frac{e^x}x\right)}\right)=[/math]

[math]=\lim_{x\to+\infty} \ \ log\left(\frac{1+\frac{2^x}x}{2+\frac{e^x}x\right)[/math]

Ora il numeratore tende al limite a cui tende
[math]2^x[/math]
, il denominatore al limite a cui tende
[math]e^x[/math]
che sono entrambi infiniti..ma l'infinito di
[math]e^x[/math]
essendo
[math]e>2>1[/math]
, si mangia l'infinito di
[math]2^x[/math]
e quindi l'argomento del logaritmo tende a
[math]0[/math]
. E' essenzialmente come fare il limite di un rapporto tra una quantità finita ed un infinito.
Dato poi che per
[math]x\right0 \ \ \ log(x)\right-\infty[/math]
hai che
[math]\lim_{x\to+\infty} \ \ log(x+2^x)-log(2x+e^x)=-\infty[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \lim_{x \to + \infty} \ \ \ \log (x+2^x)- \log (2x+e^x)= [/math]

E' questo?

Mi dovresti dire, in che contesto..

Avete fatto de l'Hopital e le derivate?

O state studiando i limiti?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Pero' io ricordo che alle superiori non si fa il confronto tra infiniti e quello tra infinitesimi...

Poi forse mi sbaglio :D
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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io l'ho fatto al liceo..e mi è capitato di vedere questo argomento anche in un testo per il liceo classico quindi suppongo che rientri regolarmente nel programma dell'ultimo anno di matematica..:)
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Si al liceo si fanno :) Ma se avessi messo al numeratore a fattor comune 2^x e a denominatore e^x ti sarebbe venuto più semplice :D
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