lucyrenzo
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Purtroppo arrivo subito al dunque perchè ormai sono 5 ore che provo a risolvere questo limite ( e non scherzo). Il limite è il seguente:
[math]lim_(xto0(^-))\frac{2-2cosx-xsinx}{x[\log(1+x^2)-x^2]}[/math]
In teoria dovrei risolverlo mediante l'uso dei limiti notevoli e sinora ho fatto così, ma non sono riuscita a trovare un valore finale che non sia in forma indeterminata oo-oo.
I limiti notevoli applicati sno quelli: (1-cosx)/x^2 ->1/2, sinx/x->1
Non so se io stia sbagliando qualcosa nei calcoli ma sinora trovo alla fine due frazioni opposte entrambi con limite oo. La calcolatrice mi dice che il limite deve essere +oo ma io, procedendo come sinora ho fatto, non sono arrivata ad una soluzione simile. O meglio: a oo-oo ma non è accettabile purtroppo.:cry
Scusatemi davvero tanto ma quando un esercizio non riesce poi diventa davvero una questione personale. Spero che nel mentre la notte porti consiglio....perchè sicuramente stanotte sognerò questo limite ( come quella serie con parametro...brividi!)
Vi ringrazio per l'aiuto.

sempre a vostra disposizione.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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[math]\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2-2\cos x-x\sin x}{x[\log(1+x^2)-x^2]} \, = \\

\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2-2\cos x-x\sin x}{x^3\[\frac{\log(1+x^2)}{x^2}-x^2\]} \, = \\

\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2(1-\cos x)-x\sin x}{x^3 \[\frac{\log(1+x^2)}{x^2}-x^2 \]} \, = [/math]

ora faccio una cosa che non si potrebbe fare dentro al limite, ma sennò diventa troppo pesante per la vista

[math]
\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2(1-\cos x)-x\sin x}{x^3 \[1-x^2 \]} \, = \\

\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2(1-\cos x)}{x^2x \[1-x^2 \]} - \frac{\sin x}{x^2 \[1-x^2 \]} \, = \\


\lim_{x\to 0^-} \; \frac{2}{2x \[1-x^2 \]} - \frac{1}{x \[1-x^2 \]}\, = 0 [/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Xico, che cavolo stai scrivendo? Hai sostituito degli infinitesimi di ordine sbagliato nelle funzioni!

Lucy, mi spiace dirtelo, ma tutti questi esercizi di limiti fatti in questo modo, si devono risolvere sostituendo alle funzioni presenti i loro sviluppi di Mac-Laurin (o di Taylor) e determinare allora il limite come rapporto delle parti principali di numeratore e denominatore.

Facendo un po' di conti, ci si accorge che la parte principale del numeratore è di ordine 4, mentre quella del denominatore di ordine 5, da cui viene un rapporto di ordine -1 che, per x che tende a zero da sinistra, tende a più infinito.


Ecco come si svolge questo esercizio:

dagli sviluppi in serie fondamentali sai che

[math]\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)\\
\sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)\\
\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)[/math]

e quindi sostituendo

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}\ \frac{2-2+x^2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)-x^2+\frac{x^4}{6}+o(x^4)}{x\left(x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)-x^2\right)}=\\
\lim_{x\rightarrow 0^-}\ \frac{\frac{x^4}{12}+o(x^4)}{-\frac{x^5}{2}+o(x^5)}=
\lim_{x\rightarrow 0^-}\ -\frac{1}{6x}=+\infty[/math]

Se vuoi, ti mando una tabella degli sviluppi in serie di Mac-Laurin e una spiegazione del metodo che serve per calcolare questo tipo di limiti (cosa che avrei già dovuto fare in un esercizio precedente). Purtroppo visto che nei limiti della forma 0/0 o
[math]\infty/\infty[/math]
è necessario calcolare esattamente l'ordine (di infinitesimo o infinito) con cui si sta lavorando, non puoi sperare di cavartela sempre usando solo il comportamento asintotico (o i limiti notevoli: infatti come puoi vedere tu stessa, il numeratore risulta un infinitesimo di ordine 4, mentre se tu avessi usato solo i limiti notevoli, avresti avuto
[math]2-2\cos x-x\sin x\sim x^2-x\cdot x=0[/math]

e cioè un assurdo, perché avresit affermato che una funzione non costante ha lo stesso comportamento della funzione costante y=0 in un intorno di x=0!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (11-02-09 12:33, 7 anni 10 mesi 2 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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e che cacchio, ci ho provato visto che aveva detto di aver fatto solo i limiti notevoli, ma si vede che non può venire. tanto io uso solo mclaurin per fare ste robe :pp
..mi ricorda un esercizio che ti avevo chiesto in cui se non prendevi un ordine di infinitesimo sufficientemente grande usciva un risultato sbagliato pure con mclaurin
lucyrenzo
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ragazzi...ehm...sto studiando per conto mio gli sviluppi di Taylor, anche perchè il prof non li ha ancora toccati! Purtroppo con limiti notevoli non ne riesco a venir fuori. Ma mi accontento. Dopo 5 ore ininterrotte trascorse a provar di risolverl con questi....basta. Grazie Ciampax. Xico....non appena li avrà spiegati credo che anch'io prenderò seriamente in considerazione il tuo consiglio:lol
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, chiudo!
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