p o t t i n a ^^
p o t t i n a ^^ - Habilis - 291 Punti
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Ciao, mi chiamo Alessia e ho finito la seconda superiore. Ho delle difficoltà con questa dimostrazione di geometria, posto di seguito il testo:
"Dall'estremo A del diametro AB di una circonferenza conduci la perpendicolare AH alla tangente in P, punto dell'arco AB. Dimostra che il segmento AP é medio proporzionale tra il diametro e AH."

Grazie, ciao.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, è richiesta la dimostrazione del fatto che
[math]AB : AP = AP : AH\\[/math]
.
Al solito, si comincia col fare un bel disegno grande e chiaro:


Grazie a questo teorema, il triangolo
[math]APB[/math]
è rettangolo in
[math]P[/math]
, quindi
[math]A\hat{P}K = P\hat{B}A[/math]
perché complementari dello stesso angolo
[math]P\hat{A}B\\[/math]
.
Ma
[math]P\hat{B}A = H\hat{P}A[/math]
perché insistono sullo stesso arco
[math]AP[/math]
(
[math]P\hat{B}A[/math]
ha
i lati entrambi secanti la semicirconferenza, mentre
[math]H\hat{P}A[/math]
ha i lati uno secante
e uno tangente). Allora, per transitività, risulta
[math]H\hat{P}A = A\hat{P}K\\[/math]
.
Quindi, notando che i triangoli rettangoli
[math]APK[/math]
e
[math]APH\\[/math]
hanno... ecc ecc.
A te proseguire. ;)


-------------- A coloro che servirà in futuro -------------- 16/08/2014 - 15:00 --------------

Si nota che i triangoli rettangoli
[math]APK[/math]
e
[math]APH[/math]
hanno l'ipotenusa
[math]AP[/math]
in
comune e
[math]H\hat{P}A = A\hat{P}K[/math]
; avendo ordinatamente congruenti l'ipotenusa e
un angolo acuto, i due triangoli rettangoli considerati sono congruenti e in partico-
lare risulta
[math]AH \equiv AK[/math]
. Per la similitudine tra i triangoli rettangoli
[math]APB[/math]
e
[math]APK[/math]
, per il 1° Teorema di Euclide, risulta
[math]AB : AP = AP : AK[/math]
.
Ma poiché
[math]AH \equiv AK[/math]
come dimostrato, risulta
[math]\small AB : AP = AP : AH[/math]
.
c.v.d.
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