playboy89
playboy89 - Erectus - 50 Punti
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E' dato il triangolo isoscele ABC di base BC=3a e tale ke cosABC=3/4. Sia D il punto della base tale ke sia 3 BD = BC. Determinare un punto P internamente al lato AB in modo ke, detta E la sua proiezione sulla retta AC, sia verificata la relazione PD^2(alla seconda)+32/63 PE^2 = 2a^2 (solo "a" alla seconda)

io ho inziato così:
BD = BC/3 = a
BP = x
-poi ho usato il teorema di carnot: PD^2 = BP^2 + BD^2 - 2BP*BD*cosPBD = x^2 + a^2 - 3/2 ax
PD l ho trovato adesso PE cm faccio a trovarlo? Sto provando in ttt i modi ma nn riesco prpr....x favore aiutatemi.........
Pillaus
Pillaus - Genius - 7338 Punti
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Intanto, calcolati la lunghezza di
[math]AB[/math]
. Se dividi a metà il segmento
[math]BC[/math]
col punto
[math]M[/math]
, nel triangolo
[math]ABM[/math]
hai:
[math]\cos\left(A\hat BC\right) \cdot AB = BM = {3\over2}a\\
AB = 2a\\
PE = 2a - x[/math]

Il resto credo che lo sai fare... ;)
sciuz92
sciuz92 - Genius - 48927 Punti
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io non saprei nemmeno cominciare questi problemi :blush
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Anch'io non li so fare, ma impareremo...tutto a suo tempo...
sciuz92
sciuz92 - Genius - 48927 Punti
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speriamo bene...:lol
playboy89
playboy89 - Erectus - 50 Punti
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nn è PE = 2a - x , ma PA = 2a - x
ciampax
ciampax - Tutor - 29101 Punti
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Allora, vediamo un po'. Chiamo
[math]\beta[/math]
l'angolo ABC (che è uguale all'angolo ACB) e quindi
[math]\alpha=\pi-2\beta[/math]
è l'angolo al vertice del triangolo. Inoltre indico con
[math]PB=x[/math]
e ovviamente sarà
[math]BD=a[/math]
come hai già calcolato. Il lato AB si calcola così
[math]AB=\frac{BC}{2}\cdot\frac{1}{\cos\beta}=2a[/math]

Ora abbiamo dal teorema del coseno

[math]PD^2=PB^2+BD^2-2\cdot PB\cdot BD\cdot\cos\beta=x^2+a^2-\frac{3}{2}ax[/math]

Inoltre
[math]PA=2a-x[/math]
. Ovviamente
[math]PE=PA\cdot\sin(\pi-2\beta)=(2a-x)\sin(2\beta)=(2a-x)\cdot 2\sin\beta\cdot\cos\beta=[/math]
[math]=2(2a-x)\cdot\frac{3}{4}\cdot\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}(2a-x)[/math]

Quindi

[math]x^2+a^2-\frac{3}{2}ax+\frac{32}{63}\cdot{63}{64}(4a^2-4ax+x^2)=2a^2[/math]

[math]3x^2-7ax+4a^2=0[/math]

Le soluzioni di questa equazione sono
[math]x=a[/math]
e
[math]x=\frac{4}{3}a[/math]
.
playboy89
playboy89 - Erectus - 50 Punti
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grz 1000 a ttt qll ke hanno risp...
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