ciauuu
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trovare l'inversa:

y= 4^{x+2} -1
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Semplice:

y+1 = 4^{x+2}

log_4 (y+1) = x+2
(log_4 è il logaritmo in base 4)

x = log_4(y+1) -2
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Devi considerare che la tua funzione è un'esponenziale e la funzione inversa di un'esponenziale è il logaritmo.

Ad esempio, se tu hai:

[math]a^b[/math]

L'inversa sarà:

[math]log_a b [/math]

Compreso?
cinci
cinci - Mito - 35782 Punti
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Se l'ho capito io...
ciauuu
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ma se è come ha detto progettista, non dovrebbe essere:

x = log_4(y+2) -1 ???
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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no..è giusto come ha fatto cherubino segui i passaggi..nota che applica il logaritmo in base 4 ad ambo i membri...
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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ciauuu: ma se è come ha detto progettista, non dovrebbe essere:

x = log_4(y+2) -1 ???

No... io ti ho detto che l'inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica (e viceversa), ma quando svolgi l'inversa di una funzione, devi invertire dominio e codominio... Infatti il risultato è:

[math]x+2 = log_4(y+1) \rightarrow x=log_4(y+1)-2[/math]
.
Forse non hai presente la definizione di "funzione inversa". La definizione è:

L'inversa di una funzione F, se esiste, è l'applicazione che manda ogni elemento Y del codominio nell'elemento X del dominio che dava come immagine attraverso la F proprio Y.

Ogni funzione invertibile è quindi necessariamente una biiezione, cioè tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno ed un solo elemento di X.

Quindi, prima di invertire una funzione, devi verificare se tale funzione è veramente invertibile o meno. Per verificare ciò devi capire se ad ogni punto del dominio corrisponde un punto del codominio diverso da qualunque altro e viceversa.
ciauuu
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x+2= log_4 (y) -1
x= log_4 (y)-3

ha me è venuta così, perchè l'argomento dovrebbe essere solo y... o sbaglio???
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]y= 4^{x+2} -1[/math]

Noi dobbiamo ricavare la x in funzione di y.
Per fare ciò innanzitutto isoliamo il termine che contiene la x:

[math]y+1=4^{x+2}[/math]

Ora poichè la x si trova all'esponente per farla "scendere :D" applichiamo il logaritmo in base 4 log_4 ma per lasciare invariata l'equazione dobbiamo operare in questo modo anche al primo membro:

[math]log_4(y+1)=log_4(4^{x+2})[/math]

Semplificando otteniamo:

[math]log_4(y+1)=x+2[/math]

Isoliamo la x ed otteniamo:

[math]log_4(y+1)-2=x[/math]

ovvero

[math]x=log_4(y+1)-2[/math]
ciauuu
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[math]log_4(4^{x+2})[/math]
ok che log_4 4=1, ma essendoci x+2, xè si può semplificare?
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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forse non ti è chiara la definizione di logaritmo.....il logaritmo in base "a" di "b" è l'esponente che bisogna dare ad "a" per ottenere "b".

quindi il logaritmo in base (4) di (4^[x+2]) è l'esponente che bisogna dare a (4) per ottenere (4^[x+2]).
E' chiaro che questo esponente è [x+2]

4^[x+2]=4^[x+2]
ciauuu
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ah... oddio era un pò complessa la cosa per me...
grazie, ora ho capito :satisfied
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ok;)
chiudo
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