miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. ho un problema con l integrazione per sostituzione, in particolare non riesco a capire quando ho un integrale in cui è già stato applicata la sostituzione, come posso fare a tornare indietro. Ad esempio:

integr { sen(t)/(t+1) } calcolato tra x+1 e cos(x).

in questo caso come devo ragionare per riportare l integrale alla variabile x??
aspetto al più presto il vostro aiuto e grazie in anticipo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, l'integrale è

[math]\int_{x+1}^{\cos x} \frac{\sin t}{t+1}\ dt[/math]

giusto?
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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si è esatto
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mi chiedo: da dove salta fuori questo integrale? Perché ti assicuro che è virtualmente e praticamente impossibile da calcolare con mezzi semplici dell'integrazione in una variabile.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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in effetti l esercizio non mi chiede esplicitamente di calcolare l integrale ma di trovare l equazione della retta tangente all integrale nel punto x=0, uttavia io avevo pensato di riportare la funzione nella variabile x poi calcolare la derivata, ovvero la funzione stessa nel punto x=0 in modo da poter poi trovare l equazione della retta tangente. Forse però c è qualke altro modo per fare ciò che non necessita di riportare l integrale alla variabile x??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Aaaaaaaaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!!!!

Allora, tu devi trovare la retta tangente alla funzione definita così

[math]f(x)=\int_{x+1}^{\cos x}\frac{\sin t}{t+1}\ dt[/math]

La formula della retta tangente ad una funzione in un punto
[math]x_0[/math]
è
[math]y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/math]

Nel tuo caso

[math]f(0)=\int_{1}^{\cos x}\frac{\sin t}{t+1}\ dt=\int_1^1\frac{\sin t}{t+1}\ dt=0[/math]

mentre

[
[math]f'(x)=(\cos x)'\cdot\frac{\sin(\cos x)}{\cos x+1}-(x+1)'\cdot\frac{\sin(x+1)}{x+1+1}=-\sin x\cdot\frac{\sin(\cos x)}{\cos x+1}-\frac{\sin(x+1)}{x+2}[/math]

da cui

[math]f'(0)=-\frac{\sin 1}{2}[/math]

Infine

[math]y-0=-\frac{\sin 1}{2}(x-0)\ \Rightarrow\ y=-\frac{\sin 1}{2}\ x[/math]
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok è chiaro tutto tranne la parte dove calcoli la derivata che è un po il punto dove mi ero bloccato visto che per il resto l esercizio è molto semplice. Puoi dirmi come hai fatto a calcolarla?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Vale la seguente formula: se

[math]F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\ dt[/math]

è una funzione definita da integrale, con
[math]a(x),\ b(x)[/math]
funzioni della variabile
[math]x[/math]
e [math[f(x,t)[/math] la funzione integranda, allora
[math]F'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f'(x,t)\ dt+b'(x)\cdot f(x,b(x))-a'(x)\cdot f(x,a(x))[/math]
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok la formula è chiara però come l hai fatta tu manca l integrale all inizio ovvero sarebbe:

F'(x)=b'(x)*f(x,b(x))-a'(x)*f(x,a(x))

dov è che sbaglio a capire???
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La funzione dentro l'integrale non dipende da x, quindi se la derivi viene zero.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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scusa ma continuo a non capire perchè esce 0: anche se non dipende da x dipende comunque da t perchè dunque derivandola viene 0?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Perché la x non è la t. :asd

Ad esempio: se derivi la funzione
[math]f(x)=x[/math]
rispetto a t viene zero, in quanto le due variabile sono diverse. Infatti, secondo la definizione, avresti
[math]\frac{df}{dt}(x)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta t}=
\lim_{x\rightarrow}\frac{f(x)-f(x)}{\Delta t}=0[/math]

questo perché l'incremento nella variabile t non influenza il valore della x. Chiaro?
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Ma quindi ogni volta che ho un integrale in t ma gli estremi di integrazione in x, la derivata del integrale è nulla??? ho inoltre un altra domanda...siccome ho notato diversi esercizi in cui gli estremi di integrazione sn in x ma l integrale è in t, c è una regola generale con cui devo comportarmi in questi casi per poter risolvere gli esercizi?to
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