SculacciaGirl
SculacciaGirl - Sapiens - 320 Punti
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salve mi sorge un dubbio sull'inegrale della seguente funzione:...la scrivo letteralmente (Radice Quadrata di a al quadrato meno x al quadrato), con a costante.
Integrando per parti con fattore differenziale 1=D(x), ho un dubbio sul secondo inegrale quello con a quadro al numeratore e Radice Quadrata di a al quadrato meno x al quadrato, al denominatore - quest'ultimo da ricondurre ad arcoseno di x.
Ma in quest'ultimo proprio non mi riesco a trovare con la soluzione riportatta sui testi... Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, se ho capito bene l'integrale in questione è il seguente:

[math]\int\sqrt{a^2-x^2}\ dx[/math]

e quello che ottieni quando integri per parti è la cosa seguente

[math]x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx[/math]

giusto? Se fai così, ti complichi inutilmente la vita! :)

Il metodo corretto di operare con questo tipo di integrali, cioè quelli dove appare
[math]\sqrt{a^2-x^2}[/math]
, è di effettuare la seguente sostituzione
[math]x=a\sin t,\qquad dx=a\cos t\ dt,\qquad \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t[/math]
.
Prova a farlo e dimmi cosa ottieni... e per favore, prova a scrivere in Latex! (Ti allego il codice di ciò che ho scritto, così puoi capire).

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Allora, se ho capito bene l'integrale in questione è il seguente:
[math]\int\sqrt{a^2-x^2}\ dx[/math]

e quello che ottieni quando integri per parti è la cosa seguente

[math]x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx[/math]

giusto? Se fai così, ti complichi inutilmente la vita! :)

Il metodo corretto di operare con questo tipo di integrali, cioè quelli dove appare [math]\sqrt{a^2-x^2}[/math], è di effettuare la seguente sostituzione

[math]x=a\sin t,\qquad dx=a\cos t\ dt,\qquad \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t[/math].

Prova a farlo e dimmi cosa ottieni... e per favore, prova a scrivere in Latex! (Ti allego il codice di ciò che ho scritto, così puoi capire).
SculacciaGirl
SculacciaGirl - Sapiens - 320 Punti
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Grazie ciampax,
il metodo che tu mi proponi già lo conosco e so ke è molto semplice ed immediato.
Tuttavia volevo provare per parti, come dicevo, in quanto su un testo è riportato, ma secondo me c'è un errore sul secondo integrale dell'integrazione p.p.; capisci?
Appunto sono interessato alla rsisoluzione di quell'integrale...per il resto è ok!
Grazie ancora, cmq!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il problema con il secondo integrale è abbastanza notevole: potresti continuare ad usare l'integrazione per parti, e allora potresti porre
[math]g'(x)=1/\sqrt{a^2-x^2}[/math]
per cui
[math]g(x)=1/a\cdot\arcsin{x/a}[/math]
e quindi
[math]\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx=\frac{x^2}{a}\arcsin\frac{x}{a}-\int\frac{2x}{a}\arcsin\frac{x}{a}\ dx[/math]

ma questo secondo integrale è ancora peggio! :) Ovviamente prendere come fattore differenziale
[math]x^2[/math]
ti porta solo ad aumentare all'infinito la potenza al numeratore, e quindi non riesci ad ottenere una soluzione. In qualche modo forse ne esci pure, ma la cosa diventa davvero lunga! :)
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