BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao a tutti.
martedì devo fare l' ULTIMO compito di matematica e mi sto esercitando molto: ora ho provato a fare questi esercizi ma non riesco a risolverli, potreste aiutarmi spiegando bene tutti i procedimenti??
[math]\int{\frac{1}{x^2+2x+2}}[/math]

[math]\int{e^xsenx}[/math]

GRAZIE MILLE IN ANTICIPO A CHI MI RISPONDERÀ :blowkiss
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per il primo, osserva che

[math]x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1[/math]

da cui, ponendo
[math]t=x+1[/math]
ricavi
[math]dt=dx[/math]
e quindi l'integrale diventa
[math]\int\frac{dt}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan(x+1)+c[/math]

Per il secondo, usa la formula di integrazione per parti due volte, integrando l'esponenziale e derivando la funzione trigonometrica. Detti
[math]I=\int e^x \sin x\ dx[/math]
ottieni
[math]I=e^x\sin x-\int e^x \cos x\ dx=\\
e^x\sin x-\left[e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\ dx\right][/math]

o anche

[math]I=e^x(\sin x-\cos x)-I[/math]

da cui

[math]2I=e^x(\sin x-\cos x)[/math]

e quindi

[math]I=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+c[/math]
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