miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Ciao a tutti. Sto riscontrando diversi problemi con gli integrali impropri sin dagli esercizi di base il che mi fa pensare che molto probabilmente c +è qualcosa che non ho capito. In particolare non mi spiego il risultato di alcuni integrali improprio nei quali viene usato il criterio del confronto asintotico. Ho pensato quindi di proporne di seguito alcuni sperando di poter avere chiarimenti e spiegazioni:

1
[math]{\int_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}\,dx}[/math]

2
[math]{\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx}[/math]

3
[math]{\int_{0}^{3} \frac{sqrt{x}}{e^x-1}\,dx}[/math]

4
[math]{\int_{0}^{+infty} \frac{1}{xe^x}\.dx}[/math]

5
[math]{\int_{-1}^{1}\frac{1}{Sh(x)}\,dx}[/math]

6
[math]{\int_{1}^{+\infty} e^{-x}sen(x)\,dx}[/math]

7
[math]{\int_{0}^{+\infty}\frac{sen(x)^2}{x^2*sqrt{x}}\,dx}[/math]

8
[math]{\int_{0}^{\pi/2} ln(sen(x))\,dx }[/math]

9
[math]{\int_{2}^{3}\frac{1}{sen(\pi*x)}\,dx}[/math]

10
[math]{\int_{1}^{+\infty} sqrt{x}[ln(1+x^2)-ln(x^2)]\,dx[/math]



So che sono molti ma vi prego aiutatemi sono davvero disperato, in partica di questi non me ne esce neanche uno. Non riesco proprio a capire dove sbaglio. Grazie in anticipo.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ma non riesci a trovare la soluzione dell'integrale indefinito o il limite?
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ah scusa hai ragione non l ho specificato. Allora dei primi due deve calcolare il valore dell integrale improprio con la definizione degli altri devo studiare la convergenza. In entrambi i casi non riesco a capire come devo fare o no mi trovo con il risultato.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Poniamo
[math]-x^2=t\ \Rightarrow\ -2x\ dx=dt[/math]
e quindi
[math]\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2}\ dx=\lim_{a\to +\infty}\int_0^a x e^{-x^2}\ dx=[/math]

posto
[math]-x^2=t\ \Rightarrow\ -2x\ dx=dt[/math]
e quindi
[math]x=0,\ t=0,\qquad x=a,\ t=-a^2[/math]
da cui
[math]=\lim_{a\to +\infty}\int_{0}^{-a^2} -\frac{1}{2} e^t\ dt=-\frac{1}{2}\lim_{a\to+\infty}\left[e^t\right]_0^{-a^2}=-\frac{1}{2}\lim_{a\to+\infty}\left[e^{-a^2}-1\right]=\frac{1}{2}[/math]

2) Abbiamo

[math]\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\ dx=\lim_{a\rightarrow+\infty}\int_0^a\frac{1}{1+x^2}\ dx=\lim_{a\to+\infty}\left[\arctan x\right]_0^a=\\ \lim_{a\to+\infty}\left[\arctan a-\arctan 0\right]=\frac{\pi}{2}[/math]


3) Questo integrale presenta problemi nell'estremo inferiore in quanto il denominatore della funzione integranda si annulla. Tuttavia, dal limite notevole si ha

[math]e^x-1\sim x,\qquad x\to 0[/math]

e quindi, per ogni
[math]\epsilon >0[/math]

[math]\int_0^{3}\frac{\sqrt{x}}{e^x-1}\ dx=\int_0^{\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{e^x-1}\ dx+\int_\epsilon^{3}\frac{\sqrt{x}}{e^x-1}\ dx[/math]

Il secondo integrale è bene definito. Per il primo, usando l'asintoticità si trova che

[math]\int_0^{\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{e^x-1}\ dx\sim\int_0^{\epsilon}\frac{\sqrt{x}}{x}\ dx=\int_0^{\epsilon}\frac{1}{\sqrt{x}}\ dx[/math]

e tale integrale risulta finito in quanto è della forma
[math]1/x^{\alpha}[/math]
con
[math]\alpha<1[/math]
.
Prova a fare gli altri.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok ma allora ho una prof incapace o quantomeno distratta visto che questi tre che mi hai risolto li avevo fatti esattamente come dici tu, ma ero andati in panico in quanto i risultati erano del tutto opposti ad esempio per il primo il risultato diceva che per
[math]\t->+\infty , -\frac{1}{2}*te^{-t^2}->0[/math]
per il secondo era riportato che per t->+∞, acrtg(t)->+∞ (cosa che mi sembrava contro ogni logica) e per il terzo il risultato era che per x->0 la funzione è asintotica a
[math]\frac{1}{sqrt{x}[/math]
e quindi.........DIVERGE!!!!! sono tutti sbagliati quindi i risultati??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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I miei sono giusti! :asd
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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su questo non c è dubbio ed anche io li avevi risolti in questo modo, ma purtroppo mi sa che i risultati è meglio se cerco di controllarli da solo la prossima volta piuttosto che affidarmi alle soluzioni della prof visto quanto sono inaffidabili!! Cmq grazie mille dell aiuto!!
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