Ivano89
Ivano89 - Ominide - 47 Punti
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Qualcuno è in grado di svolgere questo integrale? con tutti i vari passaggi?

2x/(1+x^3)

Aggiunto 3 ore 34 minuti più tardi:

Grazie mille Ciampax

Io sbagliavo il primo passaggio...scomponevo con Ax^2+Bx+C
quali sono le regole di scomposizione?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmm.... non è proprio semplice. Dunque, per prima cosa osserva che

[math]1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)[/math]

per cui

[math]\frac{2x}{1+x^3}=\frac{A}{1+x}+\frac{Bx+c}{x^2-x+1}[/math]

e ancora

[math]2x=A(x^2-x+1)+(1+x)(Bx+C)=(A+B)x^2+(B-A+C)x+(A+C)[/math]

Dobbiamo allora porre

[math]A+B=0,\ B-A+C=2,\ A+C=0[/math]
[math]B=-A,\ C=-A,\ -3A=2[/math]

e quindi
[math]A=-2/3,\ B=C=2/3[/math]
. L'integrale diventa allora
[math]\int\frac{2x}{1+x^3}\ dx=\int-\frac{2}{3x}\ dx+\frac{2}{3}\int\frac{x+1}{x^2-x+1}\ dx=\\ -\frac{2}{3}\log|x|+\frac{1}{3}\int\frac{2x+2}{x^2-x+1}\ dx=[/math]
[math]=-\frac{2}{3}\log|x|+\frac{1}{3}\int\left[\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{3}{x^2-x+1}\right]\ dx=[/math]
[math]=-\frac{2}{3}\log|x|+\frac{1}{3}\log(x^2-x+1)+\int\frac{dx}{x^2-x+1}[/math]

Per l'ultimo integrale si ha

[math]\int\frac{dx}{x^2-x+1}=\int\frac{dx}{(x-1/2)^2+3/4}[/math]

e posto
[math]x-1/2=\sqrt{3} t/2,\ dx=\sqrt{3}\, dt/2[/math]

[math]=\int\frac{\sqrt{3}\ dt}{2\cdot\frac{3}{4}\left[t^2+1\right]}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\int\frac{dt}{t^2+1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan t=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)[/math]

Abbiamo infine

[math]\int\frac{2x}{1+x^3}\ dx=-\frac{2}{3}\log|x|+\frac{1}{3}\log(x^2-x+1)+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+c=[/math]
[math]=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x^2-x+1}{x^2}\right|+\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+c[/math]
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