BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragà, stò svolgendo la traccia dell'esame di stato 2007 e non riesco a capire come si svolge questo integrale
[math]\int_\ sqrt{1-x^2}dx[/math]

Per favore potreste spiegarmi come si risolve?? GRAZIE MILLE IN ANTICIPO!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Poni
[math]x=\sin t[/math]
da cui
[math]dx=\cos t\ dt[/math]
e
[math]\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t.[/math]

L'integrale diventa allora

[math]\int\cos t\ \cos t\ dt=\int\cos^2 t\ dt[/math]

Usando la formula di duplicazione del coseno

[math]\cos 2t=2\cos^2 t-1\ \Rightarrow\ \cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}[/math]

ottieni

[math]\int \frac{1+\cos 2t}{2}\ dt=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin 2t\right)+c=\frac{1}{2}\left(t+\sin t\cos t\right)+c[/math]

Ora, usando le sostituzioni inverse

[math]t=\arcsin x,\qquad \sin t=x,\qquad \cos t=\sqrt{1-x^2}[/math]

hai

[math]\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\frac{1}{2}\left(\arcsin x+x\sqrt{1-x^2}\right)+c[/math]

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Giada stavo scrivendo mentre tu postavi la tua risposta. Sorry :asd

Aggiunto 40 secondi più tardi:

In ogni caso, certi gestacci eviterei di farli ad un moderatore, sai? Rischi la vita.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (17-06-10 13:06, 6 anni 5 mesi 27 giorni )
Giada.ariel
Giada.ariel - Ominide - 39 Punti
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inizia con la sostituzione di x=sen(t), in tal modo dx= cos(t) dt
la funzione nell'integrale diventa:
[math]radice(1-sen^2(t))[/math]
per cos(t) in dt
.ma qst radice è uguale a coseno di t, e moltiplicata per cos(t)=
[math]integrale cos^2(t)[/math]
.....dalla definizione l'integrale è uguale a 1/2 (t+sent*cost)... sostituisci per riportarlo in funzione di x e ti viene: 1/2 (arcsenx + x*radice(1-x^2))
ecco fatto :hi

Aggiunto 21 minuti più tardi:

scusa e ke ho detto io?????? :fuck :drop

Aggiunto 7 minuti più tardi:

dai fa niente...scusa =) kisses
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