Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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ciao a tutti ragazzi! il mio problema e' il seguente: data
[math]f(x) = \frac{1}{sqrt{(x+3)(1-x)}}[/math]
stabilire se il rettangoloide relativo ad f di base [0,1] e' misurabile, e in caso affermativo calcolarne la misura. Vi posto i miei ragionamenti:
Per trovare la misurabilita' del rettangoloide ho trovato l'intervallo in cui la f non cambia segno,ed esso risulta essere ]-3,1[ , che poi e' il dominio della funzione. Posso quindi concludere che il rettangoloide non e' misurabile, ma bisogna considerare l'integrale esteso a [0,t] con t appartenente a [0,1[ ?
E poi, ho trovato la primitiva di f e mi viene
[math]-4arctg{sqrt{\frac{1-x}{x+3}}}[/math]
..e' corretta? applicando la formula fondamentale del calcolo integrale viene
[math]\frac{2\pi}{3}[/math]
..sarebbe la misura del rettangoloide?
in attesa di un vostro aiuto,vi ringrazio anticipatamente! ;)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prima di procedere con i calcoli, devi determinare se la funzione data risulti integrabile. Puoi applicare il seguente risultato: se
[math]f(x)\sim\frac{1}{(x-a)^\alpha}[/math]
in un intorno di un punto
[math]a[/math]
, allora
[math]\int_a^b f(x)\ dx<\infty[/math]
se e solo se
[math]\alpha<1[/math]
.
Ora, nel tua caso, hai che

[math]f(x)\sim\frac{1}{2\sqrt{x+3}},\qquad x=-3[/math]
[math]f(x)\sim\frac{1}{2\sqrt{1-x}},\qquad x=1[/math]

che hanno entrambe esponente
[math]1/2[/math]
e quindi la funzione è integrabile.
A quel punto calcoli l'integrale, che viene

[math]\int_{-3}^1\frac{1}{\sqrt{(3-2x-x^2)}}\ dx=\int_{-3}^1\frac{1}{\sqrt{4-(x+1)^2}}\ dx[/math]

da cui posto
[math]x+1=2\sin t[/math]
hai l'integrale
[math]\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2 t}}\ 2\cos t\ dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{2\cos t}\ 2\cos t\ dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\ dt=\pi[/math]

Quello che hai scritto tu. è, visibilmente, sbagliato.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (20-07-09 17:05, 7 anni 4 mesi 17 giorni )
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