gabrixxx
gabrixxx - Erectus - 50 Punti
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chi mi spiaga questo esercizio per favore?
in R sia dato l'insieme X=[1;5[ UNIONE N dove N è l'insieme dei numeri naturali.

perche x=1 è punto isolato di X? grazie anticipatamenti a chiunque risponda.



considerando un altro esercizio
Sia N = { 0,1,2,3,4,...} e sia data la relazione binaria R su N definita dalla legge: nRm implica N<=m+3 ,

perche R non ène simmetrica, ne trasitiva ne riflessiva ne antisimmetrica?

grazie
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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1)un punto è isolato se non è di accumulazione

un punto è di accumulazione per E se in ogni suo intorno cadono infiniti punti di E

di solito si intendono intorni circolari, quindi dovrebbe essere di accumulazione, però se prendi alla lettera la definizione puoi anche considerare un intorno laterale (sinistro), pertanto risulterebbe isolato. sono comunque propenso a pensare che sia di accumulazione.

2) sei sicuro che non sia n <= m+3 ? (non ha senso dire che un insieme è minore di un elemento di un insieme, perchè la relazione d'ordine è stabilita tra elementi di un insieme che io sappia)

in tal caso,
a) non è simmetrica perchè nRm non implica mRn:
nRm: n <= m+3, che implica m >= n-3
mRn: m <= n+3

b) è riflessiva:
nRn: n <= n+3, cioè 0 <= 3

c) non è transitiva:
nRm: n <= m+3
mRp: m <= p+3

nRm, mRp implica n <= p+6, ma nRp solo se n <= p+3

non ricordo l'antisimmetria
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) C'è qualcosa che non mi torna: se

[math]X=[1,5)\cup\mathbb{N}[/math]

puoi anche scriverlo come

[math]X=[1,5]\cup\{6,7,8,9,10,\ldots\}[/math]

Ma allora 1 è punto di accumulazione (è l'estremo di un intervallo), quindi non può essere isolato. Sei sicuro di quello che chiedi?

In ogni caso un punto
[math]x_0\in A\subset\mathbb{R}[/math]
si dice isolato se esiste
[math]\varepsilon>0[/math]
tale che
[math]A\cap(1-\varepsilon,1+\varepsilon)=\emptyset[/math]
. Quindi dalla definizione stess si vede che il punto 1 non è isolato in X.

2) Una relazione è antisimmetrica se, avendosi
[math]n\mathbb{R} m,\ m\mathbb{R} n[/math]
segue che
[math]n=m[/math]
.
In questo caso si ha
[math]n\mathbb{R} m,\ m\mathbb{R} n\Rightarrow n\leq m+3, m\leq n+3[/math]
da cui sommando membro a membro
[math]n+m\leq n+m+6\Rightarrow 0\leq 6[/math]
che è sempre vera, e quindi
[math]n=m[/math]
.
La relazione è quindi riflessiva ed antisimmetrica (del resto è la relazione di minore o uguale, che è una relazione di ordine parziale, e quindi gode di queste due proprietà!)
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