insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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salve avrei bisogno di un aiuto don la determinazione dell'insieme di definizione della funzione f definita da:
[math]f(x)=\sqrt{log_{\frac{\pi }{6}}\left | arcsin \frac{2x^2-x}{2} \right |-1}[/math]

grazie...
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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ribadisco il concetto: quando posti un esercizio posta anche un tuo tentativo se vuoi ricevere un aiuto...
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ho provato in questo modo...
Per l'insieme di definizione esaminiamo tutte le funzioni contenute in quella data.
Si ha:

[math]\frac{2x^2-x}{2}[/math]
non si azzera mai, quindi è definita per ogni
[math]x\epsilon R[/math]
.
la funzione trigonometrica
[math]arcsen(t)[/math]
esiste per ogni
[math]t\epsilon R[/math]
tranne nei punti
[math]t<-1[/math]
e
[math]t>1[/math]
;
quindi
[math]arcsen(\frac{2x^2-x}{2})[/math]
esiste per ogni
[math]x\epsilon R[/math]
tranne nei punti
[math]x< \frac{1}{4}\left ( 1-\sqrt{17} \right )[/math]
e
[math]x> \frac{1}{4}\left ( 1+\sqrt{17} \right )[/math]
.
Inoltre la funzione
[math]|t|[/math]
è definita per ogni
[math]t\epsilon R[/math]
.
la funzione logaritmo deve avere un argomento maggiore di zero ovvero deve valere:
[math]\frac{1}{4}\left ( 1-\sqrt{17} \right )\leq x< 0 [/math]
[math]\vee 0< x< \frac{1}{2}[/math]
[math]\vee\frac{1}{2}< x\leq \frac{1}{4}\left ( 1+\sqrt{17} \right )[/math]
.
La radice quadrata deve avere un argomento maggiore o uguale a zero ovvero:
[math]-\frac{1}{2}\leq < x< 0 \vee 0<x<\frac{1}{2}\vee \frac{1}{2}< x\leq 1[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Riassumendo il dominio dovrebbe essere:
[math]x\epsilon R:[/math]
[math]-\frac{1}{2}\leq x< 0 [/math]
[math]\vee 0< x< \frac{1}{2}[/math]
[math]\vee\frac{1}{2}< x\leq 1[/math]


è corretto???fammi sapere se è giusto...
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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c'è qualche errore e qualche imprecisione:
-
[math]\frac{2x^2-x}{2}[/math]
non è che non si azzera mai (infatti si azzera per x=0 e x=1/2) ma ha dominio
[math]R[/math]
perchè è una funzione razionale intera.
-il logaritmo è vero che deve avere un argomento maggiore di zero, ma avendo per argomento un valore assoluto esso risulterà sempre tale a meno che non sia proprio zero.
Ne segue che il dominio si ottiene risolvendo il sistema:
[math]\begin{cases} -1 \leq \frac{2x^2-x}{x} \leq 1\\ arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=0\\ log_{\frac{\pi}{6}} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| -1\geq 0 \end{cases}[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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scusami come risolvo:
[math]arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=0[/math]
e
[math]\ log_{\frac{\pi}{6}} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| -1>=0[/math]
..
scusami ma sto in confusione..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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per risolvere la prima devi pensare: qual'è l'angolo nell'intervallo
[math][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/math]
il cui seno è zero? ovviamente è zero, quindi possimo scrivere
[math]arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=arcsin 0[/math]
e quindi
[math] \frac{2x^2-x}{2} \not=0[/math]
. Da qui in poi non penso ci sia bisogno di spiegarla.
Passiamo al secondo:
[math]log_\frac{\pi}{6} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| \geq 1[/math]
Per definizione, il logaritmo è l'esponente da dare alla base per avere l'argomento. Volendo trasformare
[math]1[/math]
in logaritmo, quindi, che argomento dovremo metterci? Una volta che avrai risposto a questa semplicissima domanda potrai scrivere
[math]1[/math]
sotto forma di logaritmo in base
[math]\pi/6[/math]
e procedere come per il caso precedente.
Se non sono stata chiara, chiedi pure ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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mi puoi dire come continuare
la disequazione logaritma
non riesco proprio a
risolverla ...
grazie...
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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non capisco dove sia il problema...spiegati meglio o posta come hai provato a continuarla...
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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come scrivo 1 in logaritmo in base pi greco/6
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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[math]a=log_b c[/math]
--->
[math]c=b^a[/math]
tu hai a=1 e vuoi scriverlo come logaritmo sapendo che
[math]b=\pi/6[/math]
. Non ti resta che calcolarti c come scritto sopra e "inserirlo" come argomento del logaritmo.
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ok.. ho provato a risolvere la disequazione:
Essendo 0 < π/6 < 1

|arcsin (2x^2-x)/2| <= (π/6)^1

- π/6 <= arcsin (2x^2-x)/2 <= π/6

arcsin(-1/2) <= arcsin(2x^2-x)/2 <= arcsin(1/2)

equivalente al sistema:

{-1 <= (2x^2-x)/2 <= 1 (esistenza della funzione arcsin)
{-1/2 <= (2x^2-x)/2 <= 1/2

è corretto??... fammi sapere..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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nel tuo sistema la prima disequazione è ridondante (compare già nel sistema che ti ho scritto precedentemente) quindi basta che svolgi la seconda disuguaglianza. Per il resto, ok! ^.^
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ok... quindi :
-1/2 <= (2x^2-x)/2 <= 1/2.

Essa equivale al sistema:

{-1/2 <= (2x^2-x)/2
{(2x^2-x)/2 <= 1/2

cioè:

{2x^2 - x + 1 >= 0
{2x^2 - x - 1 <= 0

{R
{-1/2 <= x <= 1

-1/2 <= x <= 1
è giusto??? fammi sapere..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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giusto
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ok.. quindi mi potresti dire in conclusione qual'è l'insieme di definizione...

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