SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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L'anno scorso, durante una noiossisima ora di interrogazione in latino, io e un mio amico, già interrogati, eravamo intenti più per gioco che per altro ad inventare formule riguardanti i poligoni...lo so che può sembrare un hobby da matematici disperati, però noi ci divertiamo così :lol! ...E abbiamo scoperto un'innovativa formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo :yes. Scherzandoci sopra l'abbiamo denominata il teorema di Giordicatti, dalla fusione di parti dei nostri cognomi; sinceramente non so se si possa considerare un vero teorema e in realtà la sua utilità è molto limitata, però siamo riusciti dopo pochi giorni di riflessione a giungere ad una dimostrazione reale che ne attesti l'autenticità! L'enunciato è questo:

In ogni triangolo rettangolo, l'area equivale a 1/4 del prodotto tra il perimetro del triangolo e lo stesso perimetro diminuito di due volte la misura dell'ipotenusa

A= [P*(P-2i)]/4


Sono curioso di vedere se qualcuno di voi è in grado di dimostrare con veridicità questa formula!
Chiunque di voi voglia provarci, posti in questo thread i suoi tentativi...se lo chiedete, posso anche aiutarvi un po'! Spero rispondiate in tanti, e non evitiate questa discussione solo perchè tratta di qualcosa di matematica...mi raccomando: non deludetemi!

...e, riferendomi soprattutto a quelli più grandi, qualcuno di voi sa dirmi se questo è veramente un teorema nuovo (anche se l'utilità è ristretta :dozingoff) oppure solo una banale cavolata mia e del mio amico :D?!

...Vediamo un po' quello che viene fuori....;)
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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veramente nun te sò dì se è proprio nòvo. Comunque se è l'area deve venì sempre base x altezza diviso due.

Mò te ce metti li conti
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Si, noi due (io e il mio amico) abbiamo fatto due dimostrazioni diverse che poi posto e in entrambe arrivi al fatto che l'area è cateto x cateto diviso due!

...Vediamo come hai fatto tu ;):yes!!!
Uno di tanti
Uno di tanti - Genius - 13430 Punti
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:O_ofunge alla grande!!!!!!!!pero nn è gran che utile....dato che nn sono molti i problemi dove hai il perimetro e l'ipotenusa e ti chiede l'area.......comunque vi meritate il premio nobel per minuscoli matematici!!!!!!!!:yes:lol(nn è una presa in giro...nn prendetevela!!!!!!):dontgetit :beer
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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Diaciamo
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
i due cateti mentre con c denotiamo l'ipotenusa. Il perimetro è
[math]P=a+b+c[/math]
, allora verifichiamo il teorema di Giordicatti.
[math]A=\frac{P\cdot(P-2c)}{4}=\frac{(a+b+c)\cdot(a+b-c)}{4}= \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{4}[/math]

adesso sviluppiamo il quadrato del binomio ed otteniamo

[math]\frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{4}=\frac{a^{2}+2ab-(c^{2}-b^{2})}{4}[/math]

applichiamo il teorema di Pitagora

[math]\frac{a^{2}+2ab-a^{2}}{4}=\frac{2ab}{4}=\frac{ab}{2}=A[/math]

OK! Il teorema è valido.

SKUOLA.NET APPROVA IN DATA ODIERNA SESSIONE STRAORDINARIA :yes:yes
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Uno di tanti : :O_ofunge alla grande!!!!!!!!pero nn è gran che utile....dato che nn sono molti i problemi dove hai il perimetro e l'ipotenusa e ti chiede l'area.......comunque vi meritate il premio nobel per minuscoli matematici!!!!!!!!:yes:lol(nn è una presa in giro...nn prendetevela!!!!!!):dontgetit :beer

No per niente, figurati ;)! In realtà se hai perimetro e ipotenusa riesci ad arrivare lo stesso all'area anche senza formula. Chiami i due cateti a e b e l'ipotenusa c. Sapendo che c=13 e P=30, basta mettere a sistema la somma dei cateti che ricavi facendo P-i e poi, pensando al teorema di pitagora, anche a^2 + b^2 = i^2

a+b=30-13
a^2+b^2=13^2

Si deduce che la somma dei quadrati dei due valori è uguale al quadrato della loro somma meno il doppio prodotto.
Non è un gioco di parole, basta pensare al prodotto notevole del quadrato di un polinomio:
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
Quindi se io sposto il 2ab nell'altro membro per ottenere a^2+b^2 che è quello che ho nel sistema, ricavo che (a+b)^2 - 2ab = a^2+b^2
Sostituisco così ad a^2+b^2, (a+b)^2 - 2ab, poichè so a+b. Cioè il sistema nuovo sarà

a+b=17
(a+b)^2 - 2ab = 169

Sostituisco (a+b)^2 con 17^2

a+b=17
289 - 2ab = 169

Faccio i calcoli:

a+b=17
-2ab = -120

Cambio di segno e semplifico per 2

a+b=17
ab=60

L'area è perciò un mezzo di ab, quindi 30

Infatti, avendo utilizzato una terna pitagorica in precedenza, i cateti sono 5 e 12 mentre l'ipotenusa è 13. Il perimetro è 30cm e l'area è 30cm^2!!!!

Spero di essere stato chiaro!
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Per la dimostrazione, io ero partito direttamente dal teorema di pitagora che, essendo sempre valido nei triangoli rettangoli, di può utilizzare. Chiamo a e b i cateti e c l'ipotenusa.

a^2 + b^2 = c^2

Ma si deduce (e l'ho anche spiegato prima) che

(a+b)^2 - 2ab =c^2

Cambio di posizione -2ab e c^2, ottenendo

(a+b)^2 - c^2 = 2ab

Sappiamo che questo è un prodotto notevole (differenza di quadrati a tre termini dove a e b non cambiano di segno, mentre c si). Perciò

(a+b+c)*(a+b-c)=2ab

Ma a+b+c è il perimetro del triangolo, mentre a+b-c è il perimetro meno 2 volte il valore dell'ipotenusa. Perciò si deduce

P*(P-2i)=2ab

Divido tutto per 4, in modo da ottenere al secondo membro ab/2 che è l'area del triangolo

[P*(P-2i)]/4 = ab/2

Quindi

Atr = [P*(P-2i)]/4

Il teorema di Giordicatti è verificato........:lol!!!!!!!
ciaooo
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brava fex
mav
mav - Sapiens - 360 Punti
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ahahahahahahahahahaha....anche qui sei venuto metterlo! va là!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ecco, io lo dico sempre che la geometria deve essere lasciata alla libera espressività!

Gaara, devo dire che ciò che avete creato tu e il tuo amico è veramente una bella cosa, soprattutto mostra una bella iniziativa e un bell'intuito.

Per rispondere alle tue domande:

1) sì, quello che avete dimostrato e trovato è davvero un Teorema o, per meglio dire, una proposizione (cioè un risultato valido ma non fondamentale. In realtà, la vostra formula è un corollario di un altro teorema, quello del Coseno o di Carnot! prova a cercarlo e vedrai che tale forumlasi può ottenere come apllicazione del teorema stesso.

2) la cosa che mi dispiace dire è che purtroppo la formula è stranota, da almeno 2000 anni, visto che la dimostrazione scritta da minimo è praticamente la dimostrazione di tale formula come applicazione di un'altra forumla più generale ( e questa sì un Teorema con la T minuscola) e cioè la Formula di Erone.

Al di là di tutto, cmq, vi faccio i miei complimenti, da matematico e ricercatore in tale materia, per aver usato l'ingegno in modo costruttivo. mi piacerebbe vedere il modo in cui siete pervenuti a tale formula, che sicuramente è la cosa + interessante.

Ma ora ti faccio io una domanda: la formula da te scritta mette in luce una cosa molto molto importante.... quale? Aspetto una risposta! Se mi dai quella corretta, ti qualifico a matematico professionista (visto che una tale osservazione la farebbe solo uno che davvero ne capisce di matematica!)

Cmq, ancora complimenti!
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Lasciami un po' di tempo, ne parlo anche con mav che è l'altra testa ideatrice e vediamo cosa ne tiriamo fuori...:yes;):lol!!!
Daniele
Daniele - Blogger - 27610 Punti
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Ragazzi, che menti che girano in Skuola.net. Complimenti a Supergaara e mav
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Daniele : Ragazzi, che menti che girano in Skuola.net. Complimenti a Supergaara e mav

Grazie Daniele ;):lol!!!

...E aspettate, sto arrivando ad una specie di rapporto di proporzionalità diretta che dovrebbe derivare dal teorema di Giordicatti (da notare che il nome è bellissimo!!!!), anche se non so se era quello che intendeva ciampax! Quando lo perfeziono, inserisco ciò che ho pensato :yes;)!!!

Vi avevo promesso che, non appena ci avevo ragionato un po' sopra, postavo una conclusione plausibile alla quale è possibile arrivare dal teorema di Giordicatti...e allora ecco a voi! Pensandoci bene tutto coincide, ma non so se era ciò che ciampax voleva (anzi probabilmente non lo è)!
Innanzitutto ricordiamo che il teorema di Giordicatti dice che:
[math]
A = \frac{P(P-2i)}{4}
[/math]

Da cui ricaviamo che:
[math]
P(P-2i) = 4A
[/math]

Sappiamo che un rapporto di proporzionalità diretta si può esprimere nella seguente maniera:
[math]
a = kb
[/math]

dove
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
siano due qualsiasi grandezze, e k la costante di proporzionalità diretta.
Perciò, si deduce che esiste un rapporto di proporzionalità diretta tra il prodotto del perimetro con il perimetro diminuito di due volte la misura dell'ipotenusa, e l'area di un qualsiasi triangolo rettangolo, la cui costante di proporzionalità sia 4.
Ciò succede in ogni triangolo rettangolo, poichè è solo una deduzione effettuata dal teorema di Giordicatti già precedentemente dimostrato valido.

L'esistenza di questa relazione ci permette di individuare delle classi di grandezze in proporzione diretta...ma una cosa per volta!

Pensiamo, prima di tutto, ad un modo per far si che il rapporto sopraccitato si possa tradurre sottoforma di rapporto tra aree di due figure geometriche piane. Cioè, se questa formula

[math]
P(P-2i) = 4A
[/math]

valida per ogni triangolo rettangolo, si può trasformare in un altra del tipo:

[math]
A\;di\;una\;figura = 4\;volte\;l'A\;del\;triangolo\;rettangolo
[/math]

Pensiamo, perciò, ad una figura in cui:

[math]
A = P(P-2i)
[/math]

Cioè ad una figura la cui area sia data da un prodotto ---> i rettangoli (non generalizzo a parallelogrammi, poichè quivi rientrerebbero anche i quadrati, ai quali però non si potrebbe applicare questo ragionamento in quanto devono avere tutti i lati uguali!)

Dunque:

[math]
A\;del\;rettangolo = 4\;volte\;l'A\;del\;triangolo\;rettangolo
[/math]

L'area del triangolo, come detto, è data dal prodotto di prima; perciò le dimensioni del rettangolo coincidono con i due fattori del prodotto. Pertanto, siano b la base e h l'altezza, si avrà:

[math]
b = P\qquad e\qquad h = P-2i
[/math]

E' ora di facile comprensione l'esistenza della proporzionalità diretta tra tutti i triangoli rettangoli e i loro corrispondenti rettangoli aventi per base il perimetro e per altezza il perimetro diminuito di 2 volte l'ipotenusa del triangolo corrispondente. La costante di proporzionalità diretta sarà, dunque, 4.

Bisogna ora capire se le due grandezze considerate formano, assieme ad altri enti della stessa specie, delle classi di grandezze.
Qui c'è un po' da ragionare!

Una classe di grandezze è un insieme di elementi della stessa specie ove sia possibile effettuare il confronto e la somma di due qualsiasi enti tra di loro. Devono esistere:
- un criterio per il confronto, che permetta di stabilire se due grandezze sono uguali, maggiori o minori dell'altra;
- un criterio per la somma, che ammetta l'esistenza all'interno della stessa classe di una terza grandezza uguale alla somma di due grandezze precedentemente considerate.

Applicando questo alla nostra situazione si avrebbe che è possibile effettuare il confronto e la somma di due triangoli rettangoli solo algebricamente e quindi riccorrendo alle loro misure. Infatti non è sempre possibile sommare geometricamente le due grandezze, poichè dovrebbero avere la stessa altezza o la stessa base per rimanere enti della stessa specie. Però, riccorrendo alle misure di due o più grandezze, poichè le misure sono sommabili tra loro essendo numeri, ed essendo che tutto ciò che capita alle misure capita anche alle grandezze che individuano, si potrebbe comunque ammettere l'esistenza dei due criteri. Di conseguenza si potrebbe ammettere l'esistenza delle due classi di grandezze.

Dico potrebbe poichè non ne ho la assoluta certezza...anzi se ciampax o altri che ne sanno molto più di me potrebbero sciogliere questo dubbio, vi sarei grato se inseriste la risposta...

Per il momento, ammettiamo che esistano queste due classi.
Essendo (queste) in corrispondenza biunivoca (cioè che ad ogni elemento della prima si associa uno e un solo elemento della seconda e viceversa), ed essendo che il rapporto tra due triangoli rettangoli qualsiasi della prima classe è uguale al rapporto tra i corrispondenti rettangoli della seconda classe, queste due classi sono in proporzione diretta.

Da tutto questo bordello di roba si deduce che:

1) esiste un rapporto di proporzionalità diretta tra il prodotto del perimetro con il perimetro diminuito di due volte la misura dell'ipotenusa, e l'area di un qualsiasi triangolo rettangolo, la cui costante di proporzionalità sia 4:

[math]
P(P-2i) = 4A \Longrightarrow \; A\;rett.* = 4A\;triang.\;rett.
[/math]

[math]*[/math]
ricordo che il rettangolo ha i lati particolari
2) se effettivamente esistenti, si hanno che le due classi formate da tutti i triangoli rettangoli da una parte e tutti i rettangoli aventi per base il perimetro (o il perimetro sottratto di due volte l'ipotenusa) e per altezza il perimetro sottratto di due volte l'ipotenusa (o il perimetro) dall'altra, sono in proporzione diretta; la loro costante di proporzionalità è 4.
mav
mav - Sapiens - 360 Punti
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Io invece sono riuscito a ricavare altre tre formule da questo "teorema":

- Il raggio della circonferenza inscritta a un triangolo rettangolo si ottiene facendo (P-2I)/2, con P che corrisponde al perimetro e I all'ipotenusa
- L'area del triangolo è uguale al prodotto del raggio della circonfernza inscritta per lo stesso raggio sommato all'ipotenusa, cioè A=r(r+I)

La terza formula invece non posso scriverla perchè non riesco a inserire le radici...se ci riesci Stefano mettila tu...
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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mav : Io invece sono riuscito a ricavare altre tre formule da questo "teorema":

- Il raggio della circonferenza inscritta a un triangolo rettangolo si ottiene facendo (P-2I)/2, con P che corrisponde al perimetro e I all'ipotenusa
- L'area del triangolo è uguale al prodotto del raggio della circonfernza inscritta per lo stesso raggio sommato all'ipotenusa, cioè A=r(r+I)

La terza formula invece non posso scriverla perchè non riesco a inserire le radici...se ci riesci Stefano mettila tu...

Ciao maverick, inserisci anche i calcoli di quelle di prima...;)!!!
La terza formula non me la ricordo bene...adesso provo a scriverla e mi dici se è corretta...:lol!!!

[math]
r = \frac{-i + \sqrt{i^2+4A}}{2}\\
[/math]

Pagine: 12

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