BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao raga, sono ancora io che nonostante non sappia fare nulla continuo ad esercitarmi
Ho provato a fare anche questo esercizio:
Scrivere l'equazione della parabola passante per il punto A(4;0) e per l'origine O degli assi e ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 2. Sulla tangente in O si consideri il punto P di ascissa 3 e da P si conduca l'ulteriore retta tangente in T. Calcolare la misura dell'area della parte di piano compresa tra le due tangenti e l'arco OT di parabola

Allora l'equazione l'ho calcolata e mi trovo:
[math]y=\frac-{1x^2}{2}+2x[/math]

Poi ho trovato la retta t
[math]y=2x[/math]
e di conseguenza anche l'ordinata di P
P(3;6)

Poi tramite P ho trovato la retta s e tangente alla parabola:
[math]y=-x+9[/math]

Ora quando vado a cercare le cordinate di T facendo il sistema tra la parabola e l'altra retta, mi ritrovo con 1 risultato irrazionale... Vi prego mi potete aiutare per favore???
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, la retta generica per P è
[math]y-6=mx-3m[/math]
per cui, mettendo a sistema con la parabola si ha
[math]2mx-6m+12=-x^2+4x\ \Rightarrow\ x^2+2(m-2)x-6(m-2)=0[/math]

ed imponendo la condizione di tangenza

[math]4(m-2)^2+24(m-2)=0\ \Rightarrow\ m-2=0 o m-2+6=0[/math]

e quindi le soluzioni
[math]m=2, m=-4[/math]
per cui la retta tangente ha equazione
[math]y=-4x+18[/math]
. Le coordinate del punto cercato sono allora
[math]T(6,-6)[/math]

Ora per calcolare l'area di questa specie di triangolo con un lato curvo OPT puoi fare così: la figura viene divisa in due parti dall'asse delle x. Una è il triangolo OPA meno l'arco di parabola OB, dove A è l'intersezione della retta
[math]y=-4x+18[/math]
con l'asse x
[math]A(9/2,0)[/math]
e B l'altra intersezione della parabola con l'asse x
[math]B(4,0)[/math]
. L'altra pare è il triangolo con lato curvo BAT, che si trova nel semipiano negativo. Per calcolare l'area allora puoi fare quanto segue
[math]Area=[Area(OPT)-Area(OB)]+Area(BAT)[/math]

Ora, l'altezza del triangolo OPT è pari all'ordinata di P, mente la sua base è pari all'ascissa di A, quindi

[math]Area(OPT)=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{9}{2}=\frac{27}{2}[/math]

Abbiamo poi

[math]Area(OB)=\int_0^4 \left[-\frac{1}{2} x^2+2x\right]\ dx=\left[-\frac{x^3}{6}+x^2\right]_0^4=-\frac{32}{3}+16=\frac{16}{3}[/math]

[math]Area(BAT)=\left|\int_4^{9/2}\left[-\frac{1}{2}x^2+2x\right]\ dx\right|=\left|\left[-\frac{x^3}{6}+x^2\right]_4^{9/2}\right|=\\
\left|-\frac{243}{16}+\frac{81}{4}+\frac{32}{3}-16\right|=\left|\frac{243-256}{48}\right|=\left|-\frac{13}{48}\right|=\frac{13}{48}[/math]

(hai bisogno del valore assoluto, in quanto l'integrale restituisce un area con "segno" e tu invece vuoi una misura di area, che deve essere positiva!).

Infine

[math]Area=\frac{27}{2}-\frac{16}{3}+\frac{13}{48}=\frac{405}{48}=\frac{135}{16}[/math]

(se non ho sbagliato qualche conto con le frazioni perché gli ho fatti di fretta, questo è il risultato. In ogni caso questo è il procedimento da seguire.)
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