fra17
fra17 - Sapiens Sapiens - 1700 Punti
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nn riesco a risolvere questi 2 esercizi...qualcuno mi aiuta???

lim sen(1/n)=0
n che va a +infinito

lim 3^(n-n^2)=0
n che va a +infinito


grazie mille!!!!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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[math]\lim_{n \to +\infty}\,\,\sin\frac1n[/math]

noti che

[math]\lim_{n \to+\infty}\frac1n=0[/math]

visto che la funzione seno è continua,

[math]\lim_{x\to c}\sin c=\sin c[/math]

e quindi, nel tuo caso, chiamato x=1/n risulta

[math]\lim_{x\to0}\sin x=0[/math]

[math]\lim_{n\to+\infty}\,3^{n-n^2}[/math]

intanto studio il limite

[math]\lim_{n\to+\infty}\,n-n^2=\lim_{n\to+\infty}\,n^2(\frac1n-1)=\lim_{n\to+\infty}\,-n^2=-\infty[/math]

posto x=n-n^2 devi quindi studiare

[math]\lim_{x\to-\infty}\,3^x[/math]

il limite è 0. per provarlo bisogna verificare che, preso un qualsiasi numero e, piccolo a piacere, si possa determinare un numero N tale per cui per tutte le x<-N soddisfino la disequazione

|3^x-0|<e

essendo 3^x sempre maggiore di 0, la disequazione diventa

3^x<e

[math]\log_33^x<log_3e[/math]

[math]x<log_3e[/math]

supponendo e<1,
[math]log_3e[/math]
è asua volta minore di uno. basta quindi porre
[math]log_3e=-N[/math]

e il limite è verificato
fra17
fra17 - Sapiens Sapiens - 1700 Punti
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non ho capito il primo esercizio...
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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probabilmente non hai ancora studiato le funzioni continue. comunque devi studiare il limite

[math]\lim_{x\to0}sin x[/math]

tu sai che sen0=0 e quindi il limite è proprio lo 0

per fare una dimostrazione rigorosa, devi dimostrare che preso un nuemro e, piccolo a piacere, deve esistere almeno un intorno di x tale per cui tutti i suoi elementi (escluso al più x) soddisfino la disequazione

|sen x-0|<e

ovvero

-e<sen x<e

arcsen(-e)<arcsen(sen x)<arcsen e

arcsen(-e)<x<arcsen e

l'intervallo aperto [arcsen(-e);arcsen e] è un intorno di x e quindi il limite è verificato
fra17
fra17 - Sapiens Sapiens - 1700 Punti
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ok.grazie
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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prego
chiudo:hi
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