crazy_siren
crazy_siren - Sapiens Sapiens - 904 Punti
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Mi aiutereste gentilmente a risolvere questo integrale?

[math]\int cos^2 x sin^3 x \, dx[/math]


Grazie mille

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ringrazio entrambi!!!
(Voto Ciampax perchè è stato più veloce...)
:) :hi
ciampax
ciampax - Tutor - 29177 Punti
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Dunque, quando trovi questo tipo di integrali, cerca sempre di scriverli in modo da avere una delle due funzioni trigonometriche elevate al grado 1 e l'altra elevata a quello che resta. in pratica, osserva che

[math]\sin^3 x=\sin x\sin^2 x=\sin x(1-\cos^2 x)[/math]

(usando la formula fondamentale delle trigonometria
[math]\sin^2 x+\cos^2 x=1[/math]
. L'integrale diventa
[math]I=\int\cos^2 x\cdot\sin x(1-\cos^2 x)\ dx=\int\sin x\cos^2 x(1-\cos^2 x)\ dx[/math]

Operiamo la sostituzione
[math]t=\cos x[/math]
allora si ha pure
[math]dt=-\sin x\ dx[/math]
da cui
[math]I=\int\cos^2 x(1-\cos^2 x)\cdot \sin x\ dx=-\int t^2(1-t^2)\ dt=\int(t^4-t^2)\ dt=\\
=\frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+c=\frac{t^3}{15}(3t^2-5)+c[/math]

(avendo usato la formula di integrazione
[math]\int y^n\ dy=\frac{1}{n+1}\cdot y^{n+1}+c[/math]
valida per ogni
[math]n[/math]
numero naturale.) infine, sostituendo a ritroso si ha
[math]I=\frac{\cos^3 x}{15}\left(3\cos^2 x-5\right)+c[/math]

Se hai problemi chiedi.

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Sei Lentoooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!! :asd

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (08-05-10 22:04, 6 anni 8 mesi 16 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Io farei cosi':

sapendo che
[math] \sin^2x=1- \cos^2 x [/math]

L'integrale diventa:

[math] \int \cos^2 x (1- \cos^2 x ) \sin x dx [/math]

E quindi moltiplicando

[math] \int \cos^2 x \sin x - \cos^4 x \sin x dx [/math]

L'integrale della somma e' la somma degli integrali, quindi

[math] \int \cos^2 x \sin x dx - \int \cos^4 x \sin x dx [/math]

Abbiamo in entrambi gli integrali la funzione integranda (cos x) e la sua derivata (cambiata di segno).

infatti
[math] \cos^n x [/math]
e' la derivata dell'esponenziale (come fosse
[math] x^n [/math]
moltiplicata per la derivata dell'argomento (la derivata di cos x e' - sin x) quindi (facendo un passaggio in piu' per farti capire meglio)
[math] - \int \cos^2 x (- \sin x ) dx - - \int \cos^4 x (- \sin x) [/math]

E quindi abbiamo da integrare semplicemente una funzione del tipo

[math] \int f(x) \cdot g(x) [/math]
dove f(x) e' la derivata di F(G(x)) e g(x) la derivata di G(x)
Insintesi l'integrale finale sara'

[math] - \frac13 \cos^3 x + \frac15 \cos^5 x + C[/math]

Se hai dubbi chiedi

Aggiunto 1 minuti più tardi:

GIURO CHE QUANDO HO INIZIATO A RISPONDERE LA SOLUZIONE DI CIAMPAX NON C'ERA! :D
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