__sop__
__sop__ - Ominide - 3 Punti
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Se il testo dice: trova l'equazione della parabola tangente alla retta y=-3x+5 nel suo punto di ascissa 1 e passante per A(3,0).
Che procedimento devo utilizzare? '_'
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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L'equazione canonica della parabola e'

[math] y=ax^2+bx+c [/math]

Pertanto devi avere 3 informazioni per riuscire a trovare quella data..

Se la parabola e' tangente alla retta nel punto di ascissa 1, significa che in quel punto abbiamo sia la parabola che la retta.
Ma per x=1, grazie alla retta, possiamo ricavare y=-3+5=2

Pertanto la parabola passa per il punto (1,2)
Passa inoltre per il punto (3,0)

Quindi (condizione di appartenenza)

[math] \{ 2=1^2a+1b+c \\ 0=3^2a+3b+c [/math]

E qunque

[math] \{a=2-b-c \\ 0=3(2-b-c)+3b+c [/math]

Porti avanti la seconda

[math] 0=6-3b-3c+3b+c \to c=3 [/math]

Allora dalla prima sai che

[math] a=2-b-3 \to a=-1-b [/math]

La parabola per ora diverra'

[math] y=(-1-b)x^2+bx+3 [/math]

Infine trovi i punti di intersezione tra questa parabola (che in verita' e' un fascio) e la retta.

[math] \{ y=(-1-b)x^2+bx+3 \\ y=-3x+5 [/math]

Da cui per confronto (y=y)

[math] (-1-b)x^2+bx+3=-3x+5 \to (-1-b)x^2+(b+3)x-2=0 [/math]

Abbiamo un'equazione di secondo grado (in cui compare il parametro b).
Sappiamo che un'equazione di secondo grado ha 2 soluzioni distinte se Delta>0, 2 soluzioni coincidenti se Delta=0 e nessuna soluzione per Delta<0

Siccome vogliamo che parabola e retta siano tangenti, vogliamo una sola soluzione dell'equazione (ovvero un solo punto di intersezione, che in realta' sono due punti coincidenti)

Pertanto vogliamo Delta=0

Quindi

[math] \Delta= (b+3)^2-4(-1-b)(-2)=0 [/math]

Risolvi questa equazione (con incognita b) e trovi il/i valore/i che annullano il delta.

Trovato b troverai anche a (che ti ricordo e' (-1-b)

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