Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 872 Punti
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Traccia il grafico delle seguenti finzioni: (dominio, simmetrie, segno, intersezioni, asintoti, max e min, concavità e flessi, grafico)
[math]y=(x^{2}-2x-3)e^{-x}[/math]
Il risultato dovrebbe essere: Asintoti: y=0(destro), minimo per
x=2-
[math]\sqrt{5}[/math]
, massimo per x=2+
[math]\sqrt{5}[/math]
, flessi per x=3+
[math]\sqrt{6}[/math]
e per x=3-
[math]\sqrt{6}[/math]

Ho provato a farlo ma non mi risula giusto, sapete dirmi dove ho sbagliato? Grazie =)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sia data la funzione
[math]f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/math]
definita da
[math]f(x):=(x+1)(x-3)e^{-x}\\[/math]
.
1. Dominio di f:
[math]dom(f)=\mathbb{R}\\[/math]
.
2. Intersezioni di f con gli assi:
[math]A(-1,\,0), \; B(0, \; -3), \; C(3, \; 0)\\[/math]
.
3. Studio della positività di f: è presente un prodotto tra una funzione esponenziale (che sappiamo essere non negativa per qualsiasi x reale) e una funzione polinomiale di secondo grado (che per semplicità ho già fattorizzato). Dunque è sufficiente studiare la positività di quest'ultimi due fattori e fare il prodotto dei segni. A conti fatti si ottiene che
[math]f(x)> 0 \; \Leftrightarrow \; x <- 1 \, \vee x > 3\\[/math]
.
4. Studio simmetrie "notevoli" di f:
[math]f(-x)=(x-1)(x+3)e^x \, \Rightarrow \; \not\exists \; sym\\[/math]
.
5. Studio limiti "interessanti" per f:
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\,, \; \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0^+ \end{aligned}[/math]
. Dunque, per
[math]x\to +\infty[/math]
la retta
[math]y=0[/math]
è asintoto destro al grafico di
[math]f\\[/math]
(non vi sono asintoti obliqui).
6. Studio della positività di f':
[math]f'(x)=-\left(x-(2-\sqrt{5})\right)\left(x-(2+\sqrt{5})\right)e^{-x}[/math]
.
Discorso analogo fatto per lo studio della positività di f. In questo caso, a conti fatti, si ha
[math]f'(x)>0 \; \Leftrightarrow \; 2-\sqrt{5}<x<2+\sqrt{5}[/math]
e quindi segue che un minimo relativo_
per f ha coordinate
[math]\left(2-\sqrt{5}, \; f(2-\sqrt{5})\right)[/math]
mentre un massimo relativo per f ha coordinate
[math]\left(2+\sqrt{5}, \; f(2+\sqrt{5})\right)[/math]
. Dallo studio dei limiti si può anche dedurre che il punto di minimo relativo è anche minimo assoluto per f mentre ciò non vale per il massimo (
[math]f[/math]
non è superiormente limitata).

7. Studio della positività di f'':
[math]f''(x)=\left(x-(3-\sqrt{6})\right)\left(x-(3+\sqrt{6})\right)e^{-x}[/math]
.
Discorso analogo fatto per lo studio della positività di f. In questo caso, a conti fatti, si ha
[math]f''(x)>0 \; \Leftrightarrow \; x < 3-\sqrt{6} \, \vee \, x > 3+\sqrt{6}[/math]
e quindi segue che in tali intervalli f presenta concavità verso il basso (verso l'alto altrove). Nei punti di coordinate
[math]\left(3\pm\sqrt{6}, \; f(3\pm \sqrt{6})\right)[/math]
in cui f cambia concavità sono presenti due punti di flesso obliquo.

8. Grafico di f:


Se non fosse chiaro qualcosa chiedi pure. ;)
Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 872 Punti
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Ho fatto un paio di errori veramente tonti! Grazie mille =)
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