pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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Ho qualche dubbio quando devo ricavare delle informazioni da un grafico di una funzione per il dominio e codominio.. quando ci sono gli asintoti mi devo fermare perchè la funzione si interrompe ma quando ho ad esempio il salto della funzione, quando ho del pallini vuoti e pieni?.. Grazie!!

Ad esempio questa: http://img695.imageshack.us/img695/8292/funzione.jpg
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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mm..penso di capire la tua richiesta anche se posta in malo modo..
comunque..dal grafico della funzione (almeno se disegnato come quello in figura) è facile capire quali siano dominio e codominio.

Il dominio è l'insieme dei punti sull'asse delle ascisse in corrispondenza dei quali c'è il corrispondente valore della funzione. Gli intervalli in cui la funzione è tracciata con un tratto continuo sono naturalmente inclusi nel dominio. I punti agli estremi di questi intervalli possono essere di due tipi: finiti o infiniti. Se sono finiti e sono contrassegnati da un pallino pieno allora lì la funzione è definita e dunque sono punti che appartengono al dominio, se sono solo pallini vuoti significa che essi non appartengono al dominio. Se invece questi 'punti' sono + o - infinito allora il grafico lo indica con un prolungamento tratteggiato che sta a significare che la funzione è definita anche per valori che tendono all'infinito nei due sensi. L'ultimo caso è quello degli asintoti verticali: essi passano per punti che non appartengono al dominio infatti in essi la funzione non è definita e tende all'infinito.
Nel caso della funzione in figura hai che:

- in
[math](-\infty; 1)[/math]
la funzione è definita
-
[math]\lim_{x\to\1^-} \ \ f(x)= 1, \ \ \ \lim_{x\to\1^+} \ \ f(x)= 0[/math]
quindi limite destro e sinistro per
[math]x\to1[/math]
c'è un salto pari ad
[math]1[/math]
ma la funzione evidentemente è definita in
[math]x=1[/math]
e vale
[math]0[/math]
(infatti hai nel punto
[math]P(1,0)[/math]
un pallino pieno)
- in
[math](1,3)[/math]
hai un bel tratto senza interruzioni che ti dice che in questo intervallo la funzione è definita e dunque
[math](1,3)[/math]
è incluso nel dominio
-
[math]\lim_{x\to\3} \ \ f(x)= +\infty[/math]
e dato che
[math]\pm\infty\notin\mathbb{R} \ \ \ x=3[/math]
non appartiene al dominio.
- in
[math](3,+\infty)[/math]
la funzione è regolare e dunque tale intervallo è incluso nel dominio.
Riassumendo la funzione è definita in tutto
[math]\mathbb{R}[/math]
tranne che nel punto
[math]x=3[/math]
e dunque il suo dominio sarà
[math]D=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)[/math]
.
Per il codominio ragionamenti quasi analoghi e più semplici. Devi vedere in corrispondenza di quali punti dell'asse delle ordinate vi sono punti appartenenti alla funzione.

Si vede subito che per ogni
[math]y\ge0[/math]
c'è almeno un valore che la funzione assume almeno una volta, pertanto l'intervallo
[math][0;+\infty)[/math]
è incluso nel codominio.
Se consideriamo le ordinate negative invece la funzione continua ad assumere valori ma fino ad un certo punto. Infatti quel punto di ascissa compresa tra
[math]1[/math]
e
[math]3[/math]
è il valore minimo che assume la funzione. Da lì in poi guardando in basso la funzione non assume nessun altro valore.
Dunque chiamando
[math]\alpha[/math]
l'ordinata corrispondente a quel punto possiamo dire che il codominio complessivo della funzione è l'insieme
[math]C=(\alpha;+\infty)[/math]
osservando che naturalmente
[math]\alpha<0[/math]
.
Se hai altri dubbi chiedi..
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