Alex193a
Alex193a - Sapiens Sapiens - 1077 Punti
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Potete spiegarmi in modo mooolto semplice come fare il grafico per una disequazione di 2º grado?? ma nn quello con la parabola, quello cn la retta in basso e le rette ------ o _____ e poi da quello come capire cm va scritta la soluzione. Ad esempio io da

1/2(x^2-1)+13/10x >= (4-x^2/5)-11/10

arrivo ad ottenere le soluzioni: 1/7 e -2 ke poi scrivo cm

7x^2+13x-2= 7(x-1/7)(x+2)

e poi cm continuo x il grafico? e x la soluzione?

grazie in anticipo :hi
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Andiamo con ordine:

[math]\frac{1}{2}(x^2-1)+ \frac{13}{10}x \ge \frac{4-x^2}{5} - \frac{11}{10}[/math]

Facendo gli opportuni calcoli e risolvendo l'equazione associata troviamo

[math]x_1= \frac{1}{7} \\ x_2=-2[/math]

Ovvero per questi due valori, il polinomio vale 0.
Questi due valori dovremo, alla fine, accettarli perchè la disequazione originaria era maggiore o uguale a zero.

Abbiamo

[math](x- \frac{1}{7})(x+2) \ge 0[/math]

A questo punto dobbiamo ragionare così:

affinchè il prodotto tra due fattori sia positivo è necessario che i fattori siano concordi (ovvero che i due fattori siano entrambi positivi o entrambi negativi).

Vediamo quando il primo fattore è positivo (e dove non sarà positivo sarà negativo...)

[math]x- \frac{1}{7}>0 \\ x> \frac{1}{7}[/math]

Mentre il secondo fattore sarà positivo

[math]x>-2[/math]

Tracciamo la retta, sulla quale segnamo i valori che abbiamo trovato. Poi tracciamo, sotto questa, dove il primo fattore è positivo (e dove non è positivo, lo segnamo negativo (ovvero tratteggiato) e sotto ancora tracciamo la soluzione del secondo fattore.

A questo punto moltiplichiamo i segni

Prima di -2 abbiamo la prima riga negativa (il segno ...... indica che il 1° fattore è negativo) e la seconda anche (ovvero il secondo fattore è anch'esso negativo)
Un numero negativo x un numero negativo dà un numero positivo.
L'intervallo è accettabile (perchè la disequazione iniziale era >0=
In -2 il secondo fattore si annulla, rendendo tutto il prodotto nullo.
Il numero -2 è accettabile perchè la disequazione originaria accettava anche =0.
Tra -2 e 1/7 abbiamo il primo fattore positivo ed il secondo negativo
+ x - = - (Non accettabile)
In 1/7 si annulla il primo fattore ==> il prodotto è nullo ==> accettabile
Oltre 1/7 abbiamo il primo fattore +, il secondo anche
+ x +=+ accettabile

Volevamo la disequazione
[math] \ge 0 [/math]

[math]x \le -2 \ V \ x \ge \frac{1}{7}[/math]
Alex193a
Alex193a - Sapiens Sapiens - 1077 Punti
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Grazie 1000 ma non ho capito alcune cose:

BIT5:
affinchè il prodotto tra due fattori sia positivo è necessario che i fattori siano concordi (ovvero che i due fattori siano entrambi positivi o entrambi negativi).

Vediamo quando il primo fattore è positivo (e dove non sarà positivo sarà negativo...)

[math]x- \frac{1}{7}>0 \\ x> \frac{1}{7}[/math]

Mentre il secondo fattore sarà positivo

[math]x>-2[/math]

A questo punto 1/7 è positivo ma -2 no, non bisogna cambiare di segno a -2 come è stato fatto per 1/7?

e poi l'ultima parte non mi è proprio chiara me la potresti spiegare in un modo ancora più semplice ?? .... :cry

Scusa il disturbo :thx
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Tu non devi badare al fatto che 1/7 è positivo e -2 negativo.
Quando scrivo x>1/7 vuol dire che "tutti i numeri più grandi di 1/7 vanno bene perchè, se sostituiti alla disequazione x-1/7>0 soddisfano la disequazione.

In parole più semplici possibili..
Ho trovato x>1/7..
Posso prendere x=3?
Sì, perchè 3 è maggiore di 1/7.
Vediamo se è vero, allora!
sostituisco a x il valore 3
3-1/7 è maggiore di 0? Sì.

Posso prendere x=0?
No!, perchè non è vero che 0 è maggiore di 1/7
E infatti, se sostituisco alla disequazione 0 al posto di x, viene
0-1/7>0 ===> -1/7>0 e questo non è vero.

Se il secondo fattore è x+2>0 ===> x>-2

Questo vuol dire che x+2 è maggiore di 0 se attribuisco a x un valore maggiore di -2.
Vediamo se è vero...
Potrò prendere x=-1?
Sì, perchè ho trovato che vanno bene tutti i valori che sono più grandi di -2.

Infatti, sostituendo a x il valore -1 ottengo
-1+2>0 ===> 1>0 ed è vero...

Posso prendere x=-2,1?
A quanto pare no, perchè devo prendere x>-2 e -2,1 non è maggiore di -2.
Infatti, sostituendo alla disequazione x+2>0 il valore di x ottengo:

-2,1+2>0 ===> -0,1>0 E questo non è vero.

Allora direi che la disequazione l'ho risolta bene.

Riepilogando:
x-1/7>0 "Porto il -1/7 a destra (cambiandolo di segno)" e viene x>1/7
x+2>0 "Porto il +2 a desta (cambiandolo di segno)" e viene x>-2

Per il discorso fatto nel mio primo post, a questo punto, sappiamo che la disequazione originaria era (x-1/7)(x+2)>0.

Dobbiamo prendere gli intervalli dove entrambi i fattori sono positivi o entrambi sono negativi. Non possiamo prendere i "pezzi" dove i due fattori hanno segno opposto (perchè la moltiplicazione darebbe un valore negativo, cioè <0.

Consideriamo tutte le x più piccole di -2 (x<-2):
il fattore (x-1/7) è negativo (abbiamo detto che il fattore è positivo solo per x>1/7, quindi prima di -2 è negativo)
il fattore (x+2) è anch'esso negativo (questo fattore è positivo per x>-2, cioè per tutti i valori da -2 in su)

Allora la moltiplicazione sarà tra un numero negativo e un altro numero negativo ed il risultato quindi sarà positivo.

Perchè - per - fa +.

Tra -2 e 1/7:
il primo fattore (x-1/7) è negativo (perchè il primo fattore diventa positivo solo per x>1/7)
il secondo è positivo, perchè stiamo considerando le x >-2 (< di 1/7, ma comunque maggiori di -2)

Il prodotto sarà negativo (cioè minore di 0) perchè abbiamo il primo fattore negativo x il secondo positivo = numero negativo (che non è maggiore di zero, come stavamo cercando..)

Oltre 1/7 (ovvero x>1/7)

Il fattore (x-1/7) è positivo (l'abbiamo trovato prima... (x-1/7>0 se x>1/7)
il fattore (x+2) è positivo (abbiamo trovato che x+2>0 (cioè positivo) per x>-2. Quindi per x>1/7 siamo sicuramente >-2)
Il prodotto tra i due fattori (entrambi positivi) sarà un numero positivo (cioè >0)

Mi dispiace, ma più semplificato di così non so come fare...
Alex193a
Alex193a - Sapiens Sapiens - 1077 Punti
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Grazie 1000 ho capito :thx:thx :hi
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