Erreelle
Erreelle - Habilis - 220 Punti
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Eccomi qui, il 31 dicembre a fare esercizi di geometria, spero almeno stimoli l'appetito in vista del cenone :).

Mi servirebbe una correzione dei primi 2 esercizi più, se non è di troppo disturbo, la soluzione del terzo. Per i primi 2 ove possibile ho già verificato io tramite Derive, vorrei sapere giusto se le procedure sono corrette e se qualcosa si poteva risolvere in maniera più semplice e veloce:

Es 1
Dopo aver studiato il fascio
[math]F[/math]
generato dalle rette
[math]r:\;2x+y-3=0[/math]
ed
[math]s:\;x+3y+1=0[/math]
(proprio o improprio, centro o direzione) trovare gli eventuali valori che devono assumere i parametri
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
affinché la retta
[math]t:\;ax+by+a+b=0[/math]
appartenga al fascio
[math]F[/math]
. Trovare gli eventuali valori che deve assumere il parametro
[math]k[/math]
affinché la retta
[math]t:\;x+ky=k+1[/math]
appartenga ad
[math]F[/math]
.
[math]y=-2x+3[/math]
[math]y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}[/math]
Il coefficiente angolare non è lo stesso -> fascio proprio.

Trovo il centro:
[math]r-2s \to -5y-5=0 \to y=-1 \to x=2[/math]

Trovo i valori di a e b:
[math]\begin{vmatrix}
a & b & a+b\\
2 & 1 & -3\\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}=0\\
a(1+9)-b(2+3)+(a+b)(6-1)=0\\
10a+5b+5a+5b=0\\
15a=0\\
a=0\\
b=qualsiasi\;numero\;reale[/math]

Trovo i valori del parametro k:
[math]\begin{vmatrix}
1 & k & -k-1\\
2 & 1 & -3\\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}=0\\
(1+9)-k(2+3)+(-k-z)(6-1)=0\\
10-5k-5k-5=0\\
k=\frac{1}{2}[/math]

Es 2
Dopo aver studiato il fascio di rette
[math]F[/math]
generato da
[math]r:\;2x+y+1=0[/math]
ed
[math]s:\;2x+2y+1=0[/math]
(proprio o improprio, centro o direzione) stabilire se la retta a di equazione
[math]a:\;x+2y=8[/math]
appartiene o no al fascio
[math]F[/math]
. Trovare, se esiste, la retta di
[math]F[/math]
passante per il punto
[math]A(1,-2)[/math]
.
[math]y=-2x+1[/math]
[math]y=-x-\frac{1}{2}[/math]
Il coefficiente angolare non è lo stesso -> fascio proprio.

Trovo il centro:
[math]r-s \to -y=0 \to y=0 \to x=\frac{1}{2}[/math]

Stabilisco se la retta a appartiene al fascio:
[math]\begin{vmatrix}
1 & 2 & -8\\
2 & 1 & 1\\
2 & 2 & 1
\end{vmatrix}=0\\
(1-2)-2(2-2)-8(4-2)=0\\
-1-16=0 \to La\;retta\;non\;appartiene\;al\;fascio.[/math]

Trovo la retta passante per due punti (il centro del fascio e A):
[math]\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
\frac{1}{2} & 0 & 1\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}=0\\
x(2)-y(-\frac{1}{2}-1)+1=0\\
2x+\frac{3}{2}y+1=0[/math]

In caso di fascio improprio, per direzione si deve indicare solo il coefficiente angolare
[math]m[/math]
o è richiesto qualcos'altro?
Es 3
Fissato nel piano euclideo il sistema di riferimento R, studiare il fascio φ di rette (proprio o improprio, centro o direzione) generato dalla congiungente
[math]A(1,4)[/math]
con
[math]B(1,-3)[/math]
e dalla retta s passante per
[math]S(2 , 1)[/math]
ed avente il vettore
[math](-2,1)[/math]
come sua direzione normale.
Si denoti con R' il sistema di riferimento che si ottiene:
  • traslando l'origine O nel centro di φ se questo è proprio;
  • ruotando attorno all'origine O il semiasse positivo delle ascisse in modo che risulti avere la stessa direzione e lo stesso verso del vettore scelto per rappresentare la direzione comune a tutte le rette del fascio φ se questo è improprio.
Dopo aver scritto le equazioni del cambiamento di riferimento R → R ', trovare le coordinate di A e l’equazione della retta s nel riferimento R'.
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Il primo mi sembra giusto


Il secondo hai sbagliato il segno dell'ascissa del centro

Viene
[math]C\; (-\frac{1}{2},0)[/math]

La prima retta, anche se hai sbagliato il centro, non appartiene comunque al fascio.

(Se vuoi puoi farti i calcoli per vederlo, in modo da averli giusti)



la retta per il centro e il punto A viene:

[math]\frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1}
\\ \frac{y}{2}= \frac{x+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}
\\ 3y=4(x+\frac{1}{2})
\\ y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}


[/math]

Per direzione di fascio improprio credo si intenda il coefficiente angolare m.


Per il terzo mi dispiace ma non ti so aiutare...
Erreelle
Erreelle - Habilis - 220 Punti
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Ti ringrazio per la correzione :)

Per il terzo aspetterò qualcuno amante delle rototraslazioni.
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Prego ;)
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