Erreelle
Erreelle - Habilis - 220 Punti
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Salve, se possibile mi servirebbe una mano con questo esercizio:

Dopo aver studiato il fascio F generato dai piani
[math]\alpha:\; 2 x + y - z = 0[/math]
e
[math]\beta:\; x + 3 y + 1 = 0[/math]
(proprio o improprio, asse o giacitura) trovare gli eventuali valori che devono assumere i parametri a e b affinché il piano
[math]\gamma:\;ax + by + az + b = 0[/math]
appartenga al fascio F.
Per lo studio del fascio ho trovato i vettori ortogonali ai piani:
[math]\vec{a}(2,1,-1)[/math]
[math]\vec{b}(1,3,0)[/math]

I due vettori non sono linearmente dipendenti, quindi i piani non sono paralleli.
Il fascio dovrebbe quindi essere un fascio proprio con asse la retta:
[math]r:\begin{cases}2 x + y - z = 0\\
x + 3 y + 1 = 0\end{cases}[/math]

E' sufficiente questo come studio del fascio? Spero di sì, il problema nasce però con la seconda parte dell'esercizio.

Per stabilire per stabilire per quali valori di a e b il piano γ appartiene al fascio ho pensato di utilizzare la matrice associata ai tre piani:
[math]A=\begin{pmatrix}
a & b & a & b\\
2 & 1 & -1 & 0\\
1 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/math]
e di imporre che il rango di A sia <3.
Per far questo ho imposto che tutti i suoi minori di ordine 3 avessero determinante nullo:
[math]\begin{vmatrix}
a & b & a\\
2 & 1 & -1\\
1 & 3 & 0
\end{vmatrix}=0[/math]
[math]\begin{vmatrix}
a & b & b\\
2 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}=0[/math]
[math]\begin{vmatrix}
a & a & b\\
2 & -1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=0[/math]
[math]\begin{vmatrix}
b & a & b\\
1 & -1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{vmatrix}=0[/math]

I quattro determinanti danno origine ad un sistema di 4 equazioni in 2 incognite:
[math]\begin{cases}
8a-b=0\\
a+3b=0\\
-3a+b=0\\
-a+2b=0
\end{cases}[/math]
la cui unica soluzione mi sembra essere
[math]a=b=0[/math]
.
Ho sbagliato qualcosa?
Esiste un metodo più semplice per trovare i valori di a e b?

Grazie in anticipo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Hai usato il giusto procedimento. La soluzione trovata è giusta: quello che hai determinato è che, allora, non può esistere un piano di quella forma nel fascio.
Erreelle
Erreelle - Habilis - 220 Punti
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Grazie mille, si può chiudere :).
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Chiudo.
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