danifabio
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due rette si incontrano perpendicolarmente nel punto O. Su una di esse, da parti opposte a O, costruisci due segmenti OP e OR; alla stessa maniera sull'altra costruisci i segmenti OQ congruente OP e OS congruente OR.
a)Dimostra che il quadrilatero PQRS è un trapezio isoscele.
b) Mantenendo fissa la misura a del segmento PS determina i quattro segmenti precedenti in modo che l'area di PQRS sia uguale a K, K>0. Nella discussione poni a=1.

Questa risposta è stata cambiata da TeM (25-11-13 14:43, 3 anni 15 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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a) Dimostrazione:

Il quadrilatero PQRS ha le diagonali perpendicolari ed essendo per
ipotesi
[math]OP \cong OQ, \; OS \cong OR[/math]
i due triangoli rettangoli POQ
e SOR sono isosceli, quindi con angoli acuti di 45° ciascuno.

Pertanto
[math]Q\hat{P}O = O\hat{S}R = 45°[/math]
. Tali angoli sono alterni interni
delle rette PQ, SR tagliate da QS. Rette con angoli alterni interni
congruenti sono parallele e risulta quindi PQ // SR.

I triangoli rettangoli POS e QOR sono congruenti per avere i cateti
ordinatamente congruenti per ipotesi. Hanno ordinatamente
congruenti anche le ipotenuse ed è
[math]PS \cong QR\\[/math]
.
Il quadrilatero PQRS ha
[math]PQ // SR, \; PS \cong QR[/math]
ed è quindi un
trapezio isoscele di basi PQ, SR.
[math]\square\\[/math]


b) Discussione con segmento incognito:

Indica
[math]\overline{OP} := x[/math]
. Poiché OP è cateto del triangolo rettangolo POS in cui
l'ipotenusa
[math]\overline{PS} = a = 1[/math]
, deve essere
[math]0 < x < 1[/math]
. POQ e SOR sono
metà di due quadrati avendo i cateti congruenti e
[math]P\hat{O}Q = S\hat{O}R = 90°[/math]
_
per ipotesi. Da O porta la perpendicolare alle basi del trapezio che incontra
SR in H e PQ in K. Quindi esprimi tutte le lunghezze in funzione di
[math]x[/math]
, calcola
l'area di PQRS anch'essa dipendente da
[math]x[/math]
ed uguagliala a
[math]k>0\\[/math]
.
Dai, ora procedi da solo e in caso di difficoltà posta i tuoi passaggi. ;)
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