Matisse92
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Ciao a tutti..mi potete aiutare a risolvere questo problema di geometria??

=> Determinare l'equazione delle circonferenze tangenti all'asse X nel punto P(2;0) e raggio di misura 3.
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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L'equazione canonica della circonferenza è:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Se la circonferenza è tangente all'asse delle ascisse vorrà dire che devi mettere a sistema la retta
[math]y = 0[/math]

Una circonferenza passante da un punto si trova semplicemente sostituendo le coordinate ai coefficienti dell'equazione canonica.
Matisse92
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non ho capito bene...io sapevo ke quando una circonferenza è tangente una retta(in questo caso l'asse x di equ.:Y=0)si intersecano in un punto(questo a livello geometrico mentre a livello matematico in 2 punti coincidenti) e non che...

cmq,io ho fatto la distanza-punto retta(tra asse x e il centro) e l'ho posta uguale a due(cioè il raggio):così ho trovato la Y del centro...ma adesso non riesco a capire come posso trovare la X del centro??

inoltre so che(dato C(c,f) A(dell'equazione della circonferenza x^2+y^2+ax+by+c)=-2c e B=-2f mentre C=f^2+c^2-r^2...però non so come sfruttare queste formule!
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Si, riguardo l'equazione passante per un punto, devi sostituire X e Y dell'equazione canonica della circonferenza con le coordinate del punto. Nel tuo caso:

[math]4+4a+c=0[/math]

Poiché ti è dato anche il raggio
[math]r[/math]
, e tu sai che il raggio è uguale a
[math]r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c} = 3[/math]
Matisse92
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scusa ma non ho ancora capito cosa intedi..perchè quando 1 circonferenza è tangente l'asse x nella sua equ. i termini in y nn ci dovrebbero essere??cmq sul libro ci sono al risultato...e la formula del raggio non la posso usare perchè non ho C e neanche A..ho solo B
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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No, allora... se una circonferenza è tangente ad una retta (o un'asse), tu devi mettere a sistema l'equazione della retta (nel tuo caso y=0) con l' equazione canonica della circonferenza.

Quindi verrà il sistema:

[math]\begin{cases} y=0 \\ x^2+y^2+ax+by+c=0\end{cases} [/math]

Cioé:

[math]\begin{cases} y=0 \\ x^2+ax+c=0\end{cases} [/math]

Poi devi imporre che il discriminante
[math]\Delta =0[/math]
(Condizione di tangenza). Sai trovare il discriminante?
Matisse92
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si il dicriminante lo so trovare...ok adesso credo di aver capito come risolvere il problema..Thanks!
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Aspetta. Devi mettere il discriminante uguale a zero, a sistema con le altre due condizioni che ti avevo sopraelencato. Ok?
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Ci sono tre condizione da valutare:
1) della circonferenza che passa epr il punto P (condizione di appartenenza del punto al luogo geometrico)
2) condizione che deriva dal sistema dell'equazione della circonferenza e l'asse x dopo aver posto il delta uguale a 0
3) il raggio che è uguale a 0
Per la determinazione di una circonferenza bastano anche due condizioni che ti portano ad avere a e b
Matisse92
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quali sono le altre due condizioni con cui lo devo mettere a sistema??
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Uffa... ma come te lo dobbiamo dire!

1) Metti a sistema la retta tangente con l'equazione canonica della circonferenza e poi trovi il discriminante uguagliandolo a zero.

2) Sostituisci le coordinate del punto in cui passa la circonferenza all'equazione canonica.

3) Imposti la lunghezza del raggio.

Aspetta qualche minuto che te la risolvo io...
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PRIMO PUNTO - RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA

[math]\begin{cases} y=0 \\ x^2+y^2+ax+by+c=0\end{cases} [/math]

[math]x^2+ax+c=0 [/math]

Trovi il discriminante uguagliandolo a zero per la condizione di tangenza.

[math]\Delta = 0 \rightarrow a^2-4c=0[/math]
-------------------------------------------------------------------------------

SECONDO PUNTO - PASSAGGIO DELLA CIRCONFERENZA PER UN PUNTO

Devi sostituire le coordinate del tuo punto nella equazione canonica della circonferenza.

[math]P (2,0) \rightarrow x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

[math]P (2,0) \rightarrow 2^2+0^2+a2+b0+c=0 \rightarrow 4+2a+c=0[/math]

-------------------------------------------------------------------------------

TERZO PUNTO - DEFINIZIONE RAGGIO CIRCONFERENZA

Il raggio si può ricavare dall'equazione canonica da questa formula:

[math]r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}[/math]

Poichè il tuo raggio è:
[math]r=3[/math]
, allora:
[math]\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c} = 3[/math]
-------------------------------------------------------------------------------

A questo punto puoi mettere a sistema tutte le tre condizioni e risolverlo.

[math]\begin{cases} a^2-4c=0 \\\\ 4+2a+c=0 \\\\ \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c} = 3\end{cases} [/math]

Una volta che avrai trovato
[math]a[/math]
,
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
, dovrai sostituire tali coefficienti nella equazione canonica della circonferenza ed avrai la tua bella equazione.
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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matisse puoi fare anche come dici tu...è più veloce...hai trovato la y...sai che la x è zoero perchè il punto appartiene all'asse dell y la cui equazione è x=0...capito?
Matisse92
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ok,il problema esce!
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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benisssimo..chiudo!
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