leo470
leo470 - Erectus - 80 Punti
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Fra tutte le parabole del fascio di equazione
[math]y = (m-2)x^2 - 2(m-1)x - 4(m-2)[/math]
determinare quella che interseca l'asse delle ascisse in due punti A e B in modo che il triangolo ABC abbia area massima, essendo C il punto di coordinate (0;1).

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (05-11-08 19:50, 8 anni 1 mese 6 giorni )
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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mi sembra ci sia un'incongruenza all'interno del problema stesso ma può darsi che mi sbagli:
siccome ti è dato un solo punto la cui coordinata y è l'altezza del triangolo che ti chiedono di costruire, affinché l'area sia massima si deve avere una base del triangolo che sia massima. ma siccome non ci sono restrizioni del dominio la x può assumere qualunque valore, perciò è impossibile trovare il valore delle coordinate richieste. tanto per darti un'idea la soluzione sarebbe una parabola con vertice nel punto C e con una concavità molto ampia che tende all'infinito. cosicchè la nostra parabola tende a confondersi con una retta parallela all'asse x di equazione y=1.

come ho detto prima può darsi che mi sbagli adesso provo a fare quattro calcoli. se trovo una soluzione più plausibile modifico la risposta.
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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per trovare le intersezioni con l'asse delle x devi mettere a sistema

y=0
y=(m-2)x^2-2(m-1)-4(m-2)

da cui ottieni

0=(m-2)x^2-2(m-1)-4(m-2)

se m=2 ottieni la parabola degenre y=-2x, che ha come unica intersezione con l'asse x il punto O(0;0) e che quindi individua un triangolo degenere di area 0. se poni m diverso da 2 puoi dividere e ottieni:

[math]0=x^2-2*\frac{m-1}{m-2}x-4[/math]

[math]\frac{\Delta}4=\left(\frac{m-1}{m-2}\right)^2+4=\frac{(m-1)^2+4(m-2)^2}{(m-2)^2}=[/math]

[math]=\frac{m^2-2m+1+4m^2-16m+16}{m^2-4m+4}=\frac{5m^2-18m+17}{m^2-4m+4}[/math]

la base del triangolo, come ha detto the.track, è pari alla differenza tra le ascisse delle due intersezioni, quindi

[math]base=x_1-x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}+b+\sqrt{\Delta}}{2a}=[/math]

[math]=\frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}a[/math]

nel nostro caso a=1; ricordando che D/4=4*D/4

[math]\frac{\sqrt{\Delta}}a=\sqrt{4*\frac{\Delta}4}=2\sqrt{\frac{5m^2-18m+17}{m^2-4m+4}}[/math]

a questo punto credo (non ne sono sicuro) che tu debba fare trovare il massimo valore che può assumere la funzione
[math]y=\frac{5m^2-18m+17}{m^2-4m+4}[/math]
utilizzando le derivate, ma sinceramente non saprei come fare perchè non le abbiamo ancora fatte :dontgetit
che poi il risultato non esista, come dici tu track, sinceramente non lo so; potrebbe anche essere:yes ma non conosco sufficientemente bene i fasci di parabole per poterlo dire
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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sì bisogna fare la derivata di quella roba e imporre g'(m) = 0.
credo nn sia corretta l'osservazione di track.. se fosse una parabola degenere (retta) allora avrebbe infiniti punti di intersezione con l'asse x, e sarebbe al contempo l'unico modo per far distare infinitamente A e B
leo470
leo470 - Erectus - 80 Punti
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Ok. Grazie a tutti
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