anny=)
anny=) - Moderatore - 30562 Punti
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Buonasera ragazzi :)
volevo chiedervi un piccolo aiuto... potreste spiegarmi come risolvere al meglio questo problema di geometria analitica? Sul mio libro non ho nemmeno un esercizio guidato e sto avendo un pò di difficoltà :hypno

Ecco il testo:
- Rappresenta graficamente le rette
[math]r[/math]
e
[math]s[/math]
rispettivamente di equazioni
[math]y= -1/2x[/math]
e
[math]y=2x
[/math]
. Sia
[math]A[/math]
il punto di
[math]r[/math]
di ascissa 4 e
[math]B[/math]
il punto di
[math]s[/math]
di ordinata 8. Determina le misure
[math]2p[/math]
e
[math]S[/math]
del perimetro e dell'area del triangolo
[math]AOB[/math]
, dopo aver verificato che è rettangolo in
[math]O[/math]
.
risultati[
[math]2p[/math]
=
[math]2(5+3[/math]
[math]\sqrt{5}[/math]
);
[math]S=20[/math]
]
Grazie in anticipo :thx :D
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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A è il punto di r di ascissa 4.
Calcoliamone l'ordinata sostituendo, nell'equazione della retta, il valore dato alla x:
r: y=-x/2
in x=4
[math]y=-4/2=-2[/math]
, quindi A ha coordinate (4,-2).
Per trovare l'ascissa di B, invece, sostituiamo in s il valore dato alla y
s: y=2x
in y=8
[math]8=2x[/math]
-> x=4 quindi B ha coordinate (4,8 ).
Verifichiamo che il triangolo è retto in O:
se il triangolo è rettangolo, le rette r e s devono essere ortogonali tra loro e quindi avere coefficiente angolare antireciproco.
Il coefficiente angolare di r è m=-1/2 quello di s è m'=2. m*m'=-1/2*2=-1 le due rette sono ortogonali.

Dati due punti
[math]P (x_p,y_p)[/math]
e
[math]Q (x_q,y_q)[/math]
il segmento che li unisce ha una lunghezza pari a
[math] PQ=\sqrt{(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2}[/math]
.
Dovendo misurare il perimetro dobbiamo calcolare AB, AO, BO.

[math]A0=\sqrt{(4-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\\
BO= \sqrt{(4-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5[/math]

La lunghezza di AB, avendo la stessa ascissa, è pari alla differenza tra le loro ordinate(in valore assoluto), quindi
[math]AB=|-2-8|=10[/math]

Il perimetro del triangolo è quindi dato dalla somma dei tre segmenti, quindi
[math]2p=A0+AB+BO=2\sqrt5+4\sqrt5+10=10+6\sqrt5[/math]
.
Per quanto riguarda l'area, generalmente si calcola come base*altezza/2, dove, l'altezza viene misurata attraverso la formula della distanza tra punto e retta (ad esempio, se consideriamo per base del triangolo A0, l'altezza sarà data dalla distanza tra il punto B e la retta per A0). Nel tuo caso, però, abbiamo un lato che, nel piano cartesiano, risulta verticale, quindi la misura dell'altezza OH, relativa al lato AB, è pari alla differenza tra le ascisse:
[math]OH=4-0=4[/math]
.
L'area è quindi pari a
[math]AB*OH/2=10*4/2=20[/math]
.
Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure ^.^
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