FeDiNa91
FeDiNa91 - Erectus - 50 Punti
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ciao a tutti :hi
c'è qualche buon'anima che mi da' una mano con questo problema?
io non so proprio da dove cominciare :cry:cry

"Scritte le equazioni della circonferenza avente il centro nell'origine e raggio uguale a 4 e dell'ellisse avente un vertice in (0;5) e passante per (1; radice di 21), determinare i punti d'intersezione delle due curve; considerato poi il rettangolo avente tali punti come vertici, determinare sulla diagonale situata nel 1° e 3° quadrante un punto P tale che risulti:
(PA) al quadrato + (PB) al quadrato = 14 , essendo A e B i vertici dell'ellisse situati sull'asse x"

è arabo per me :no
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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alllora trovi l' equazione della crf
[math]x^2+y^2+\alpha x+\beta y+ \gamma=0[/math]
allora sai che
[math]-\frac{\alpha}{2}=0[/math]
così per
[math]\beta [/math]
quindi
[math]\gamma=0[/math]
..poi che
[math]\gamma=r^2=16[/math]
..la crf sarà quindi
[math]x^2+y^2+16=0[/math]
ci sei fin qui???
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Allura... dato che imparare equazioni e formule a memoria ingombra la mente, cominciamo...

...cominciamo dagli albori della circonferenza!

Prendiamo un sistema di assi cartesiani Oxy. Vogliamo determinare l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
[math]r[/math]
.
La circonferenza, per sua definizione, è l'insieme di tutti i punti equidistanti dal centro.

Adesso prendiamo un punto
[math]P[/math]
, tale che la distanza
[math]\overline{OP} = r[/math]
.


Se proiettiamo il punto
[math]P[/math]
sull'asse delle ascisse, otterremo il triangolo
[math]OPH[/math]
, i cui cateti sono:
[math]\overline{OP}[/math]
,
[math]\overline{OH}[/math]
e
[math]\overline{PH}[/math]
.


Per il Teorema di Pitagora, l'ipotenusa
[math]\overline{OP}[/math]
si ottiene dalla seguente formula:
[math]\overline{OP}=\sqrt{\overline{OH}^2+\overline{PH}^2[/math]

Se sostituiamo
[math]\overline{OP}=r[/math]
,
[math]\overline{OH}=x[/math]
e
[math]\overline{PH}=y[/math]
, otteniamo:
[math]r=\sqrt{x^2+y^2}[/math]

Ma se eleviamo tutto alla seconda, allora otterremo l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio
[math]r[/math]
:
[math]x^2+y^2=r^2[/math]

Noi potremmo volere una circonferenza che non abbia il centro in
[math]O (0,0)[/math]
, ma in un centro
[math]C (\alpha,\beta)[/math]
.
Basterà sottrarre le coordinate del centro
[math]C[/math]
, rispettivamente a
[math]x = \overline{OH}[/math]
e
[math]y = \overline{PH}[/math]

L'equazione GENERALE della circonferenza sarà quindi:
[math](x-\alpha)^2+(y-\beta)^2 = r^2[/math]

Sviluppando tale equazione si ottiene:

[math]x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2-r^2=0[/math]

Se sostituiamo
[math]-2\alpha=a[/math]
,
[math]-2\beta=b[/math]
e
[math]\alpha^2+\beta^2-r^2=c[/math]
, otteniamo l'equazione CANONICA della circonferenza:
[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

--------------------------------------------------------------

Poiché nel tuo problema il raggio della circonferenza è
[math]r = 4[/math]
e il centro della stessa è nell'origine O (0,0), allora l'equazione della tua particolare circonferenza si trasformerà in:
[math](x-0)^2+(y-0)^2 = 4^2 \rightarrow x^2+y^2=16\rightarrow x^2+y^2-16=0[/math]

EQUAZIONE DELLA TUA CIRCONFERENZA

--------------------------------------------------------------

Passiamo allo studio dell'ellisse...

Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Non svolgerò tutto il procedimento per arrivare all'equazione della circonferenza perché è piuttosto lungo, anche se si basa sulla costruzione di triangoli come per la circonferenza. Ti faccio comunque il disegno (spero sia corretto, perché l'ho fatto <<ad muzzum>> ) :lol:



L'equazione CANONICA dell'ellisse è:

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

Un ellisse ha quattro vertici di coordinate:

[math]V_1 (a,0) \\ V_2 (-a,0) \\ V_3 (0,-b) \\ V_4 (0,b)[/math]

--------------------------------------------------------------
Poiché la tua ellisse ha un vertice in (0,5), allora l'equazione si trasformerà in:

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\pm5^2}=1 \rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{25}=1[/math]

Infine, per imporre il passaggio della tua ellisse dal punto
[math]P (1,\sqrt{21})[/math]
, devi sostituire
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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niente fedina..scusa ma ho appena letto il tuo pm..ma ha già risp progettista!
FeDiNa91
FeDiNa91 - Erectus - 50 Punti
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grazie mille a entrambi :D
una parte del compito di domani riuscirò a farla grazie a voi xD
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Ti servono ulteriori delucidazioni? Comunque per terminare l'esercizio, una volta ottenuta l'equazione dell'ellisse e della circonferenza, per trovare le intersezioni basta metterle a sistema.
FeDiNa91
FeDiNa91 - Erectus - 50 Punti
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No no, il resto è chiaro..
Ancora grazie! :move
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Allora un augurone per domani e che crepi il lupo!

:hi

P.S: Vai a dormire tranquilla. Studiare la notte, il giorno prima della verifica, fa solo male... altrimenti domani sarai stralunata e ripassare in queste ore serve a poco perché la mente è stressata.
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